un "classique" classique

Soit un une suite décroissante qui converge vers 0.
1) On suppose que la somme de uk converge, montrer que lim n un = 0
n-> + inf

-j'voudrais bien voir une démonstration qui n'utilise po la divergence de la suite harmonique)

Si jamais vous avez rien à faire//-->

2) Montrer que les séries de termes généraux un et vn := n (un - un+1) sont de même nature. (On pourra montrer que somme de un converge ssi somme de vn converge) Comparer leur somme en cas de convergence.

codex00 a écrit:

Soit un une suite décroissante qui converge vers 0.
1) On suppose que la somme de uk converge, montrer que lim n un = 0
n-> + inf

-j'voudrais bien voir une démonstration qui n'utilise po la divergence de la suite harmonique)

j'ai pas résolu l'exo mais je crois que la lemme de Cesàro peut servir.

Pour ce qui connu:
on procède par absurde
on pose lim nUn= a / a#0
donc lim (Un)/(a/n) =1
donc Un et a/n sont equivalente au voisinage de +inf
donc la somme des Uk est equivalente à a(sum 1/k) qui diverge!
donc a=0
Mais c moche comem solution

Bonsoir ;

je ne dirai pas qu'elle est moche mais plutôt fausse car la négation de nun ---> 0 n'est pas nun ---> a#0 sauf erreur bien entendu

Bonsoir ;

pour une solution possible on pourra par exemple voir ici http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=d31c02f8b150c2be100e32dba23d7df8

codex00 a écrit:

Soit un une suite décroissante qui converge vers 0.
1) On suppose que la somme de uk converge, montrer que lim n un = 0
n-> + inf

-j'voudrais bien voir une démonstration qui n'utilise po la divergence de la suite harmonique)

J'ajoute une autre question qui peut etre interessante :
en considerant un entier m>2 pourriez vous montrer que Sum (m^n.u_{m^n}) est convergente ? ( en effet vous pouvez montrer qu'elle a la meme nature que Sum uk en general ! , ensuite vous pouvez vous y inspirer por resoudre lexercice ^^ mais c du marteau pilon !! ) )
bon courage ! ( et bon retour codex )

Si la série de terme général (u_n) converge avec (u_n) décroissante (de limite 0) on a: 2n*u_{2n}<2(u_{n+1}+...+u_{2n})<2R_n
(reste à l'ordre n).
On en déduit que la limite de 2n*u_{2n} est égale à 0.
Par suite, (2n+1)*u_{2n+1}<(2n+1)*u_{2n} tend aussi vers 0.
On a bien prouvé que la suite (nu_n) converge vers 0.

codex c pa cesaro ....!! j crois ?