limite simple d'une fct 2 variables

f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

lim f(x,y) en (0,0)

--------------------------------------------------------------------
j ai fai ceci :
l f(x,y) l < lxl l x²/(x²+y²) l + lyl l y²/(x²+y²) l < lxl + lyl ------> 0
est ce juste,,?

oui

limit a écrit:

f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

lim f(x,y) en (0,0)

--------------------------------------------------------------------
j ai fai ceci :
l f(x,y) l < lxl l x²/(x²+y²) l + lyl l y²/(x²+y²) l < lxl + lyl ------> 0
est ce juste,,?

Rien à signaler, c'est juste.

merci!
je sais pas alors pourqoi ds un livre ils ont compliqués la reponse en decomposant g(x,y)=(x+y)*(x²+y²-xy)/(x²+y²) pour montrer que (x²+y²-xy)/(x²+y²) est borné avec un tableau de variation,et deduire que lf(x,y)l <2(lxl+lyl)

limit a écrit:

f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^2+y^2)

lim f(x,y) en (0,0)

--------------------------------------------------------------------
j ai fai ceci :
l f(x,y) l < lxl l x²/(x²+y²) l + lyl l y²/(x²+y²) l < lxl + lyl ------> 0
est ce juste,,?

BSR limit !!

S'agisssant d'une limite lorsque (x,y) ------> (0,0)
Je t'aurais volontiers suggéré de passer en Coordonnées Polaires .....
Tu poseras x=r.COS(Thêta) et y=r.SIN(Thêta)
(x,y) ------> (0,0) équivaut à r -------> 0+
Celà étant , ta fonction f(x,y) se transformera en :
f(x,y)={r^3.( COS^3(Thêta)+SIN^3(Thêta)}/(r^2)
=r. {........} dès que r>0
Une majoration simple te donnera |f(x,y)| <=2.r
et le tour est joué !!

LHASSANE

PS : Ce que tu as fait est INDISCUTABLEMENT JUSTE !!!

merci bien pour la methode !smais ce que j ai fai reste correcte?

limit a écrit:

merci bien pour la methode !smais ce que j ai fai reste correcte?

BSR limit !!

C'est JUSTE de MANIERE INDISCUTABLE !!

LHASSANE

merci et pour la fonction f(x,y)=(x²+y²)*sin((1/(x²+y²)) en (0,0)??

limit a écrit:

merci et pour la fonction f(x,y)=(x²+y²)*sin((1/(x²+y²)) en (0,0)??

Elle est plus facile que la précédente !!
Toujours en Coordonnées Polaires , tu auras :
|f(x,y)|<=r^2 le |SIN(....)| étant borné par 1
et puis tu conclus que la LIMITE vaut ZERO .

En fait et pour une LIMITE lorsque (x,y) -----> (0,0) , toutes les fois ou tu pourras majorer |f(x,y)| par une fonction g(r) qui tend vers ZERO lorsque
r -----> 0+ , la méthode fonctionne !!

LHASSANE

merci bien pr ta generosite!!
une derniere qstion ;
est ce que g(x,y)=(x²+y²)*sin((1/racine caré(x²+y²)) est de classe 1 càd est ce que les derivee partielle sont continue en (0,0)?

sachant que f(0,0)=0

BJR limit !!

DSL pour le retard .... J'étais absent .....
Concernant ta dernière question , voilà ce qu'il faut remarquer :

1) Ta fonction g est SYMETRIQUE en x et y , ce qui va simplifier le travail !!
Ainsi si on pose r=r(x,y)={x^2+y^2}^(1/2) , on aura :
g(x,y)=r^2.SIN(1/r) si r>0 et g(0,0)=0
Par ailleurs , tu as ICI un exemple de fonction de deux variables qui est RADIALE c'est à dire que g(x,y) ne dépend que de r=(x^2+y^2)^(1/2)

Tu sais déjà que g est partout continue sur IRxIR , c'est un travail fait précédemment ....
Il reste , par exemple , à calculer D(g,x) dérivée partielle première de g par rapport à x et voir si elle est partout continue sur IRxIR ou pas ??!!

Au point (0,0) :
D(g,x)(0,0)=Lim {(g(x,0)-g(0,0))/x} lorsque x ---->0 avec x<>0 .
Or g(x,0)-g(0,0)=x^2.SIN(1/|x|)
et donc ..... D(g,x)(0,0)=Lim x.SIN(1/|x|)=ZERO

En tout point (a,b) distinct de (0,0) :
On posera pour commodité d'écriture R=r(a,b)
D(g,x)(a,b)={Dr/Dx}(a,b).{r^2.SIN(1/r)}'r(R)
Or {Dr/Dx}=x/r c'est la Dérivée Partielle de r par rapport à x
Donc :
D(g,x)(a,b)={a/R}.{2.R.SIN(1/R) - COS(1/R)}
En conclusion , la fonction D(g,x) est ainsi définie :

D(g,x)(0,0)=0 et
D(g,x)(a,b)={a/R}.{2.R.SIN(1/R) - COS(1/R)}
=a.{2.SIN(1/R) - (1/R)COS(1/R)} si R>0

Tu vois donc assez CLAIREMENT que D(g,x) est partout continue sur IRxIR\{(0,0)}
mais elle n'est pas CONTINUE en (0,0) car la limite de D(g,x)(a,b)
lorsque R -----> 0+ n'existe pas .
En effet :
1) 2.a.SIN(1/R) tend vers ZERO lorsque R ----->0+
puisque |2.a.SIN(1/R)| <=2.|a| <= 2.R car |a| <=R
2) Par contre (a/R).COS(1/R) n'admet pas de limite lorsque R -----> 0+

( peut se faire à titre d'exercice :
Soit h : (x,y) -----------> h(x,y) de IRxIR\{(0,0)} dans IR définie par
h(x,y)={x/(x^2+y^2)^(1/2)}.COS(1/(x^2+y^2)^(1/2))
Montrer que h n'admet de limite lorsque (x,y) ------> (0,0) ) .

De ce fait D(g,x) n'est pas partout continue sur IRxIR
C'est suffisant pour conclure que g n'est pas C1 sur IRxIR .

LHASSANE

merciii
mais est ce qu une fonction peux etre differentiable en un pt sans que ses derrivees partielles soit continue en ce pt!!

limit a écrit:

merciii
mais est ce qu une fonction peux etre differentiable en un pt sans que ses derrivees partielles soit continue en ce pt!!

BJR limit !!

Sans aucun doute ! Je te donne un exemple d'une fonction ordinaire .....
Soit f : IR ----------> IR définie par
f(x)=x^2.SIN(1/x) si x<>0 et f(0)=0

Alors f est bien dérivable en ZERO et f'(0)=0 MAIS la fonction dérivée f' qui est ainsi définie :
f'(x)=2.x.SIN(1/x) - COS(1/x) si x<>0 et f'(0)=0
Tu vois bien que f' est continue sur IR*
MAIS n'est pas continue en ZERO du fait que :
la limite de COS(1/x) lorsque x ------>0 x<>0 n'existe pas !!!

LHASSANE