bon exo

Déterminer toutes les fonctions f définies de IR+* vers IR
et qui vérifient :
f (x) f (y) = f (xy) + 1/x + 1/y pou tous x et y de IR


je donne la reponse demain

Solution :
* pour x = 1 et y = 1 : on a : f(1)² - f(1) - 2 = 0 => f(1) = -1 ou bien f(1) = 2 .
** cas 1 : pour : x = 1 et y = x
f(1) = -1 => 1/x + 1 = 0 contradiction (prend par exemple x = 4555^45555 hhh) .
** cas 2 : pour x = 1 et y = x .
f(1) = 2 => 2f(x) = f(x) + 1/x + 1 => f(x) = 1/x + 1

Bonsoir

Pour le cas f(1)=-1 , il y a une autre demarche plus simple et accessible :

Substituons la valeur -1 à x et y :

On a donc (f(-1))² = f(1) - 2 , alors que f(1) = -1 on aura (f(-1))² = -3

Ce qui est absurde.

y-a-ss-i-n-e a écrit:

Bonsoir

Pour le cas f(1)=-1 , il y a une autre demarche plus simple et accessible :

Substituons la valeur -1 à x et y :

On a donc (f(-1))² = f(1) - 2 , alors que f(1) = -1 on aura (f(-1))² = -3

Ce qui est absurde.

On ne peut pas prendre x=-1 car la fonction est definie de IR+* vers R

Azerty1995 a écrit:

y-a-ss-i-n-e a écrit:

Bonsoir

Pour le cas f(1)=-1 , il y a une autre demarche plus simple et accessible :

Substituons la valeur -1 à x et y :

On a donc (f(-1))² = f(1) - 2 , alors que f(1) = -1 on aura (f(-1))² = -3

Ce qui est absurde.

On ne peut pas prendre x=-1 car la fonction est definie de IR+* vers R

.

f(x)f(y)=f(xy)+1/x+1/y
Supposons que x=y=1
<===> f(1)²=f(1)+2
<===> f(1)²-f(1)-2=0 (équation deuxième degré (delta) )
<===> f(1)=-1 où f(1)=2
Supposons Que y=1
<===> f(x)*f(1)=f(x)+1/x+1+
le cas où f(1)= -1
-f(x)=-f(x)+1/x+1
c nul
le cas où f(1)=2
2f(x)=f(x)+1/x+1
<=======> f(x)=(1/x)+1
Lahouma Zindéééé 3ilmaa