- Nasslahsen a écrit:
- etant donné a>0 on considere une fonction f strictement positive sur [0,a] et telle que : lim x-> 0 f(x) /x = L > 0
Montrer que la suite : racines n-ième [ n! f(a) f(a/2).....f(a/n) ] admet "a.L" pour limite ........
BSR à Toutes et Tous !!
@ aimad : au lieu d'un Coup de Pouce voici un Coup de Main ....
On pose Vn=racine n-ième { n! f(a) f(a/2).....f(a/n) } pour tout entier n>=1 et Uk={f(a/k)}/{a/k} pour tout entier k >=1
On a alors :
Ln(Vn)=(1/n).Ln{n! f(a) f(a/2).....f(a/n)}
=(1/n).Ln{a^n.U1.U2.U3 ......... Un}
=Ln(a) + (1/n).{Ln(U1)+Ln(U2)+Ln(U3)+ ......... +Ln(Un)}
Comme lim x-> 0 f(x) /x = L > 0
ALors Lim Uk=L lorsque k ----> +oo car (a/k) -----> 0
et par suite le Théorème de CESARO permet de conclure que
Lim { (1/n).{Ln(U1)+Ln(U2)+Ln(U3)+ ......... +Ln(Un)}}= Ln(L) aussi
D'ou Lim{ Ln(Vn)}=Ln(a) + Ln(L)=Ln(a.L)
et enfin par continuité du Ln(.)
on obtiendra Lim Vn=a.L lorsque n-------> +oo
En conclusion : j'ai utilisé le Théorème de CESARO pour la Partie Forte , ensuite ce sont des Calculs Purs .....
LHASSANE
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