L'ordre en IR

1/Mettez en ordre les nombres x, y, et z sachant que:
** x+y=<2z, z+x=<2y, et y+z=<2x.
** xy=<z^2, zx=<y^2, et yz=<x^2.(et x,y, et z sont positifs).
2/Comparez x et y qui vérifient:
x=Va-Vb et y=V(a+p)-V(b+p)
sachant que a, b, et p sont positifs.
Bonne chance.

2/


Et puisque on a clairement , il s'ensuit que

Dijkschneier a écrit:

2/


Et puisque on a clairement , il s'ensuit que

Il y a quelque chose que tu as raté (a-b est-il positif ?)

Dans le cas ou a<b
x<y

nmo a écrit:

1/Mettez en ordre les nombres x, y, et z sachant que:
** x+y=<2z, z+x=<2y, et y+z=<2x.
** xy=<z^2, zx=<y^2, et yz=<x^2.(et x,y, et z sont positifs).
Bonne chance.

Ce sont de très faciles exercices.
Bon courage.
Je donne la réponse si je ne trouve aucune.

Indice:
x=y=z dans les deux cas.
Bon courage.

Pour le premier:
On a x+y=<2z et z+x=<2y.
Donc en sommant x+y+z+x=<2z+2y.
Donc 2x=<z+y.
Donc on a 2x=<z+y et y+z=<2x.
Donc 2x=z+y.
De même 2y=z+x.
De même 2z=x+y.
On a 2x=z+y.
Donc 2x+x=z+y+x.
Donc 3x=x+y+z.==>(1)
On a 2y=z+x.
Donc 2y+y=z+x+y.
Donc 3y=x+y+z.==>(2)
On a 2z=y+x.
Donc 2z+z=z+x+y.
Donc 3z=x+y+z.==>(3)
Et de 1 et 2 et 3 on déduit que 3x=3y=3z.
Soit en résumé x=y=z.

Pour le deuxième:
On a xy=<z^2 et zx=<y^2.
Donc en multipliant xy*zx=<z^2*y^2.
Donc x^2=<zy.
Donc on a x^2=<zy et yz=<x^2.
Donc x^2=zy.
De même y^2=zx.
De même z^2=xy.
On a x^2=zy.
Donc 2x^2=2zy.==>(1)
On a y^2=zx.
Donc 2y^2=2zx.==>(2)
On a z^2=xy.
Donc 2z^2=2xy.==>(3)
En sommant 1 et 2 et 3 on obtient 2x^2+2y^2+2z^2=2zy+2zx+2xy.
Donc 2x^2+2y^2+2z^2-2zy-2zx-2xy.
Donc x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=0.
Donc (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=0.
Donc (x-y)^2=0 et (x-z)^2=0 et (y-z)^2=0.
Donc x-y=0 et x-z=0 et y-z=0.
Donc x=y et x=z et y=z.
Soit en résumé x=y=z.