Cas d'égalité

Etablir les inégalités suivantes
Puis, trouver les cas d'égalité (avec démonstration bien entendu - c'est ce qui est intéréssant)
a,b,c £ (IR+)^3
(1)- a^3+b^3+2>=2ab+a+b
(2)- a²+b²+c²>=ab+ac+bc

pour la deuxieme inago on a :
(a-b-c)²>=0 <=> a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc>=0
<=> a²+b²+c²>=2ab+2ac+2cb=2(ab+ac+cb)
et puisque a et b et c sont positif alors a²+b²+c²>=ab+ac+bc
le cas d'egalite est a=b=c
A+

Voici ma réponse:
Pour la première:
On a (a-1)^2>=0.
Donc a^2-2a+1>=0.
Donc a^2-a+1>=a.
Donc (a+1)(a^2-a+1)>=a(a+1). (Car a+1>0.)
Donc a^3+1>=a^2+a.
De même b^3+1>=b^2+b.
En sommant On obtient ainsi a^3+1+b^3+1>=a^2+a+b^2+b.
Donc a^3+b^3+2>=a^2+b^2+a+b.==>(1).
D'autre part (a-b)^2>=0.
Donc a^2-2ab+b^2>=0.
Donc a^2+b^2>=2ab.
Donc a^2+b^2+a+b>=2ab+a+b.==>(2).
Et de 1 et 2, il s'ensuit que a^3+b^3+2>=2ab+a+b.
Avec égalité si et seulmet si a=b=1.
Pour la deuxième:
On a (a-b)^2>=0.
Donc a^2-2ab+b^2>=0.
Donc a^2+b^2>=2ab.
De même: c^2+a^2>=2ac.
Et b^2+c^2>=2bc.
En sommant a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2>=2ab+2ac+2bc.
Donc 2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc.
Finalement a²+b²+c²>=ab+ac+bc.
Avec égalité si a=b=c.
CQFD.

master a écrit:

pour la deuxieme inago on a :
(a-b-c)²>=0 <=> a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc>=0
le cas d'egalite est a=b=c
A+

Bien joué nmo,
Reste plus qu'à prouver que les cas d'égalité sont pour (1) a=b=c et pour (2) a=b=1