a Nice problem

Soit n un entier positif , Montrer que pour tout m dans N il existe un multiple de n tel que la somme de ses chiffres en ecriture décimal est m

joli !
pour m=1 cela n'est pas toujours possible puisque 10^p=na n'est pas toujours verifiée.
pour m=2 il suffit de trouver a et b tel que 10^a+10^b=0 mod(n)
ce qui est facile.
pour m=3 de mm on trouve a,b et c tel que 10â+10^b+10^c=0 mod(n)

maintenant on remarque que si un multiple na de n possede p chiffres et un multple nb possede q chiffres il est possible de trouver un k suffisement grand tel que n(a10^k+b) possede p+q chiffres.
ainsi puisque tout entier m>1 s'exprime en fonction de 2 et 3 on conclu pour le reste.

salut Mehdi j'ai pas bien compris ta solution un peu de precision sil vous plait mais j'ai uoblié d'ajouté la condition ke n ne soit pas un multiple de 3 et m>n !! merci

oui ce n'est pas possible si n est un multiple de 3 car sinon la somme de ses chiffres est un multiple de 3 et donc on ne peut verifier l'enoncé pour tt m>n.
je rectfierai ma preuve plus tard.

memath a écrit:

joli !
pour m=1 cela n'est pas toujours possible puisque 10^p=na n'est pas toujours verifiée.
pour m=2 il suffit de trouver a et b tel que 10^a+10^b=0 mod(n)
ce qui est facile.
pour m=3 de mm on trouve a,b et c tel que 10â+10^b+10^c=0 mod(n)

maintenant on remarque que si un multiple na de n possede p chiffres et un multple nb possede q chiffres il est possible de trouver un k suffisement grand tel que n(a10^k+b) possede p+q chiffres.
ainsi puisque tout entier m>1 s'exprime en fonction de 2 et 3 on conclu pour le reste.

pr m=3 je pense que c faux , prends n=11 , donc on peut trouver a,b,c tel que (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c =0 ce qui est pas possible

neutrino a écrit:

memath a écrit:

joli !
pour m=1 cela n'est pas toujours possible puisque 10^p=na n'est pas toujours verifiée.
pour m=2 il suffit de trouver a et b tel que 10^a+10^b=0 mod(n)
ce qui est facile.
pour m=3 de mm on trouve a,b et c tel que 10â+10^b+10^c=0 mod(n)

maintenant on remarque que si un multiple na de n possede p chiffres et un multple nb possede q chiffres il est possible de trouver un k suffisement grand tel que n(a10^k+b) possede p+q chiffres.
ainsi puisque tout entier m>1 s'exprime en fonction de 2 et 3 on conclu pour le reste.

pr m=3 je pense que c faux , prends n=11 , donc on peut trouver a,b,c tel que (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c =0 ce qui est pas possible

hhh je sais , j'ai dis que c'est à rectifier.
l'idee de la construction je crois qu'elle est juste ,reste à commencer à partir de n+1 ...
Bonne soirée !