Problèmes:

1/Voici la conversation de deux ami dans la petite salle de séjour de l'un d'eux:
* Tiens, tu as posé de la moquette et une corniche au plafond .
Cela t'as coûté cher?
* Ah, secret! Je te dirai seulement que le prix au mètre de la corniche était deux fois plus élevé que le prix au mètre carré de la moquette, mais j'ai payé exactement la même somme pour led deux matériaux.
Après un instant de reflexion, l'ami remarque:
* Tu ferai peut-être mieux d'examiner de près ta facture.
Expliqu pourquoi?
2/Le livre de mathématique de Première S a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les arrêtes ont pour longueur a,b et c.
Son volume vaut V=792 cm^3, la somme des aires de ses faces vaut S=954 cm^2 et la somme des longueurs de ses arrêtes vaut P=170 cm.
Retrouvez les dimensions du livre.
(On pourra, pour cela, développer le polynôme Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c) et retrouver l'épaisseur comme une racine évidente de Q).
Bonne chance.

Pour le premier:
Soit a et b les dimensions de la pièce.
Celle-ci a pour aire s=ab et pour périmètre 2(a+b).
Soit c le prix au mètre carr" de la moquette; alors 2c est le prix au mètre de la corniche et les deux matériaux ayant couté la même somme: s*c=2(a+b)*2c soit a+b=s/4.
(a,b) est donc la solution du système
a+b=s/4.
ab=s.
C'est à dire a et b sont solutions de l'équation x^2-(s/4)x+s=0.
Le discriminent de cette équation est s^2/16-4s.
Pour qu'il y ait des solution, la condition s^2/16-4s=>0 nécessite s>=64 puisque s>=0.
64m^2 semble bien grand pour "une petite salle de séjour".

Pour le deuxième:
Soit a, b, et c les dimensions des côtés de ce livre.
On a le livre a la forme d'un paralléllipipède.
Notons V son volume,, P la somme des longueurs de ses arrêtes, et S la somme des aires de ses faces.
Donc V=a*b*c.
Donc 792=abc.
Et aussi P=a+a+a+a+b+b+b+b+c+c+c+c.
Donc P=4a+4b+4c.
Donc P=4(a+b+c).
Donc 170=4(a+b+c).
Donc a+b+c=170/4.
Donc a+b+c=85/2.
Et aussi S=2ab+2ac+2bc.
Donc 954=2(ab+ac+bc).
Donc ab+ac+bc=477.
D'autre part, on a Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
Donc Q(x)=(x^2-xb-xa+ab)(x-c).
Donc Q(x)=x^3-x^2*c-x^2*b+xbc-x^2*a+xac-abc.
Donc Q(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc.
Donc Q(x)=x^3-(85/2)x^2+477x-792.
Or, Q(2)=2^3-(85/2)*2^2+477*2-792.
Donc Q(2)=8-170+954-792.
Donc Q(2)=0.
Donc Q(x) est factorisable par x-2.
En appliquant la division euclédienne, on trouve Q(x)=(x-2)(x^2-(81/2)x+396).
Considérons le trinôme:x^2-(81/2)x+396.
Ce trinôme a pour discriminent 56.25 (56.5=(7.5)^2).
D'ou les deux solutions:
x1=(40.5-7.5)/2=33/2=16.5 et x2=x1=(40.5+7.5)/2=48/2=24.
On conclut que Q(x)=(x-2)(x-16.5)(x-24).
Finalement, les dimensions du livres sont a=2cm et b=16.5cm et c=24cm.