Exo

x et y deux nombres strictement positifs
montrez que
4Vxy/xy<=(1/y+1)(1/x+1)

.

Je réponds:
On a (Va-Vb)^2>=0.
Donc (Va)^2-2Vab+(Vb)^2>=0.
Donc a+b>=2Vab.
Posns a=y et b=1.
Donc y+1>=2Vy.
Posons a=x et b=1.
Donc x+1>=Vx.
En multipliant les deux inégalités, on trouve: (y+1)(x+1)>=(2Vy)*(2Vx).
Donc (y+1)(x+1)>=4Vxy.
Divisons par xy , on trouve ((x+1)(y+1))/xy>=4Vyx/xy.
Donc ((x+1)/x)*((y+1)/y)>=4Vyx/xy.
Donc (x/x+1/x)*(y/y+1/y)>=4Vyx/xy.
Donc (1/y+1)(1/x+1)>=4Vyx/xy.

C juste