joli , de la part d'un ami

slt , trouver les polynomes de C[X] verifiant P(x²-2)=P²(x)-2

C[X] est pair ou impair??

memath a écrit:

slt , trouver les polynomes de C[X] verifiant P(x²-2)=P²(x)-2

Je ne sais pas comment trouver toutes les solutions, mais comme l'équation est P(Q(x)=Q(P(x)), avec Q(x)=x^2-2, on a au moins la famille de solutions Q(Q(..(Q(x))..) : toutes les composées de Q(x).

Pour le fun, ces polynomes répondent à l'équation Q^n(x)=2cos(2^n arccos(x/2))

Et donc Q(Q... n ..Q(x))=2T_(2^n)(x/2) où T_n(x) est le polynome de Tchebychev d'ordre n.

La vraie question, selon moi, est de déterminer si ce sont les seules solutions.

Pouvez-vous, memath, nous donner quelques indications sur cette question ?

nemo a écrit:

memath a écrit:

slt , trouver les polynomes de C[X] verifiant P(x²-2)=P²(x)-2

Je ne sais pas comment trouver toutes les solutions, mais comme l'équation est P(Q(x)=Q(P(x)), avec Q(x)=x^2-2, on a au moins la famille de solutions Q(Q(..(Q(x))..) : toutes les composées de Q(x).

Pour le fun, ces polynomes répondent à l'équation Q^n(x)=2cos(2^n arccos(x/2))

Et donc Q(Q... n ..Q(x))=2T_(2^n)(x/2) où T_n(x) est le polynome de Tchebychev d'ordre n.

La vraie question, selon moi, est de déterminer si ce sont les seules solutions.

Pouvez-vous, memath, nous donner quelques indications sur cette question ?

Bonsoir nemo ! ton idee est respectée mais tu ne fait que compliquer les choses.
je donne l'indication suivante :
poser Q(x)=P(x)-x
on obtient Q(x²-2)=Q(x)(Q(x)+2)
remarquer qu'un polynome admettant une infinité de racines est forcement nulle.

Ps: un ami qui m'a donné l'exo m'a dit que c'est un Oral d ENS.
à toi de jouer

memath a écrit:

[Bonsoir nemo ! ton idee est respectée mais tu ne fait que compliquer les choses.
je donne l'indication suivante :
poser Q(x)=P(x)-x
on obtient Q(x²-2)=Q(x)(Q(x)+2)
remarquer qu'un polynome admettant une infinité de racines est forcement nulle.

Ps: un ami qui m'a donné l'exo m'a dit que c'est un Oral d ENS.
à toi de jouer

Heuh, dire que Q(Q(... Q(x)) avec Q(x)=x^2-2 est solution est trivial et vraiment pas compliqué.

La deuxième partie de mon post (sur les polynomes de tchebychev) était juste pour le fun.

Je vais essayer d'utiliser ton truc pour voir si ce sont bien les seules solutions.

Merci en tous cas.