exo d'olympiade d'aujourd'hui

Sujet: exo d'olympiade d'aujourd'hui Ven 05 Mar 2010, 20:30

a et b deux nombres appartenants à Z.montrez que si 7 est diviseur de a²+b² alors 7est diviseur aussi de a et de b.

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Ven 05 Mar 2010, 20:33

a et b etc des nombres entiers positifs ,monter que:
[ab/(a+b)]+[ac/(a+c)]+[bc/(b+c)]inferieur ou égale à (a+b+c)/2

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Ven 05 Mar 2010, 21:02

allez pas de réponse!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Ven 05 Mar 2010, 21:34

pour le premier, vous aurez la peine a teste la congruence d'un carré parfait mudol 7, après tu deduis, pour le deuxieme 4ab=<(a+b)² => ab/(a+b) =< (a+b)/4 de même pour les autres a tu trouve CQFD.

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Ven 05 Mar 2010, 21:41

merci MOHE,pour le premier j'ai commencer par si a=7n et b=7m teque n et m apprtient à Z ,puis j'ai remplacé dans
a²+b² =7(7n²+7m²) et j'ai dit donc l'inverse est juste.

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Sam 06 Mar 2010, 07:45

comment il est juste?? !!

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Sam 06 Mar 2010, 19:34

Pour le premier il faut calculer le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7. Pour cela, on étudie 7 cas:
a=7k ou a=7k+1 ou a=7k+2 ou a=7k+3 ou a=7k+4 ou a=7k+5 ou a=7k+6.
A toi de continuer, le reste est facile.

Sujet: Re: exo d'olympiade d'aujourd'hui Mar 16 Mar 2010, 18:43

Je réponds moi-même:
On veut calculer le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7.
On étudie 7 cas a=7k ou a=7k+1 ou a=7k+2 ou a=7k+3 ou a=7k+4 ou a=7k+5 ou a=7k+6.
*On a a=7k.
Donc a^2=49k^2.
Donc a^2=7*7k^2.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 0.
**On a a=7k+1.
Donc a^2=49k^2+14k+1.
Donc a^2=7*(7k^2+2k)+1.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 1.
***On a a=7k+2.
Donc a^2=49k^2+28k+4.
Donc a^2=7*(7k^2+4k)+4.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 4.
****On a a=7k+3.
Donc a^2=49k^2+42k+9.
Donc a^2=7*(7k^2+4k+1)+2.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 2.
*****On a a=7k+4.
Donc a^2=49k^2+56k+16.
Donc a^2=7*(7k^2+8k+2)+2.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 2.
******On a a=7k+5.
Donc a^2=49k^2+70k+25.
Donc a^2=7*(7k^2+10k+3)+4.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 4.
*******On a a=7k+6.
Donc a^2=49k^2+84k+36.
Donc a^2=7*(7k^2+12k+5)+1.
Donc le reste de la division euclédienne de a^2 sur 7 dans ce cas est 1.
On conclut que si 7 est diviseur de a²+b² alors 7 est diviseur aussi de a et de b.
(Car la somme des restes de la division euclédienne de a^2 sur 7 deux à deux ne donne pas un reste divisible par 7 si et seulement si ces deux restes sont 0).
CQFD.