| | Démonstration d'un théorème |  |
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achraf_djy
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| | Sujet: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 19:18 | |
| Salut les amis!
Montrer que toute fonction de IR vers IR , continue et périodique, est bornée!! | |
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joystar1
Maître
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 21:04 | |
| soit T la période de f
f est continue sur [0,T]->f([0,T])=[m,M]
d'où f bornée sur [0,T]
soit x ds R--> il existe y ds [0,T] tel que f(x)=f(y) ds [m,M] (periodique)
voilà!!
Dernière édition par joystar1 le Mar 16 Mar 2010, 21:08, édité 1 fois | |
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memath
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 21:05 | |
| f(R)=f([0,T])=un intervalle fermé | |
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achraf_djy
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 21:16 | |
| Mais il faut montrer que f es borné qq soit x dans IR, pas seleument dans un intervalle! | |
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joystar1
Maître
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 21:35 | |
| soit x dans R
si x appartient à [0,T] alors f(x) est bornée (voir mon msg précendent)
sinon soit n la partie entiere de x/T on a:
n<=x/T<n+1--> nT<=x<nT+T
soit y=x-nT on a ; 0<=y<T
d'ou f(y) bornée
or f(x)=f(y+nT)=par perodicité=f(y) bornée
PS:j'espère que c'est claire car g largement détaillé | |
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imanos
Féru
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mar 16 Mar 2010, 21:55 | |
| bonsoir! voici ce ke je pense si f est périodique donc f(x+t)=f(x) avec t sa période donc il suffit ke la fonction soit bronée sur [0,t] (on pren t>0) donc 0=<x=<t ils existent a_1,a_2,...a_n £ [0,t]^n tel que a_1=<a_2...=<a_n on peu dir que 0=<x=<a_1 ou a_1=<x=<a_2 ...ou a_(n-1)=<x=<a_n ou a_n=<x=<t on va choisir les a_i tels que f soi monotone dans chake intervale [0,a1]...[a_n,t] donc on peu dir ke f(a_1)>=f(x)>=f(0) ou f(a_1)=<f(x)=<f(0) on peu le fair pour ts les a_i cki donne ke f est bornée sauf erreur | |
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achraf_djy
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mer 17 Mar 2010, 19:24 | |
| pour joystar1 soit x dans R
si x appartient à [0,T] alors f(x) est bornée (voir mon msg précendent)
sinon soit n la partie entiere de x/T on a:
n<=x/T<n+1--> nT<=x<nT+T
soit y=x-nT on a ; 0<=y<T
d'ou f(y) bornée
or f(x)=f(y+nT)=par perodicité=f(y) bornée
tu a travailler seleument sur IR + car t>0 et n>=0 d'ou x>=0 ce qui est faux!!
x appartient à IR | |
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joystar1
Maître
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Mer 17 Mar 2010, 21:20 | |
| la partie entier est ds Z peut donc être négative | |
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achraf_djy
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Jeu 18 Mar 2010, 14:23 | |
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Dernière édition par achraf_djy le Jeu 18 Mar 2010, 19:08, édité 1 fois | |
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imanos
Féru
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Jeu 18 Mar 2010, 18:53 | |
| si f est bornée sur [0,T] ellé donc bornée dans IR
car ce qui see passe dans [0,T] se répéte dans [0,kT] k £ Z
f est bornée sur [0,T]==> f est bronée sur IR | |
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achraf_djy
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Jeu 18 Mar 2010, 19:04 | |
| Merci!!!! j'ai pas fait attention! | |
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wagshall
Maître
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| | Sujet: Re: Démonstration d'un théorème Ven 19 Mar 2010, 00:20 | |
| - memath a écrit:
- f(R)=f([0,T])=un intervalle fermé
la fermeture ça n'a rien avoir avec la bornitude de f par contre il faut dire [0,T] est un compact de IR et puisque f continue alors f( [0;T] ) est un compact de IR aussi donc f([0,T]) = [m;M] ===> m =< f(x) =<M pr t x£IR .... | |
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