hyperplan application

soit E un IK ev et F s e v de E
1)montrer que H hyperlan de E <=> qls a €E\H : E = H (+) IKa
2)montrer que H hyperplan de E <=> il existe f forme linéaire de E non nulle telle que H =Ker(f)
3)montrer que F={f application deIR ds IR/ f(2) =0} et
G={f IR -->IR/ il existe a ds IR, pour tt x de IR f(x) =ax}
sont supplementaires dans IR^IR
bon courage

Salut !!
=> supposons que h est un hyperplan, il existe b€E\{0} tq
E=H (+) IKa.
on a a €E\H donc il existe q €IK\{0}, c €H tq a=c+qb
soit x €E, donc il existe p €IK, h €H tq x=h+pb
on a: b=(1/q).(a-c)
donc x=(h-(pa)/q)+(p/q).a donc E = H+IKa

soit x € H(inter)IKa . mq x=0
il existe q €IK x= q.a et x €H
si q#0 a=x/q
or x €H
donc a =x/q €H impossible d'où x=0
et alors E = H (+) IKa

=> Supposons que H est un hyperplan, mq il existe f €E*\{0} ET H=Ker(f)
H est un hyperplan, soit a €H tq E = H (+) IKa
soit f: E--IK, f(x)=q si x=h+qa (h,q) €H*IK
f est bien une application car E = H (+) IKa
mq f est linéaire
pour cela, soit (x,y) €E²,
il existe q €Ik et h €H tq x=h+qa
il existe p €Ik et k €H tq x=k+pa
f(ux+vy)=f(u(h+qa)+v(k+pa))=uq+vp=uf(x)+vf(y) CQFD!
soit x=h+qa tq h €H et q €IK
x €Ker(f) ssi f(x)=0 ssi q=0 ssi x €H
Donc Ker(f)=H

<=soit a €E\H mq E = H (+) IKa
soit x € H(inter)IKa . mq x=0
alors x=qa et f(x)=0 donc x=0
soit x €E
x=(x-f(x)/f(a).a)+f(x)/f(a).a
avec x1=(x-f(x)/f(a).a
q = f(x)/f(a)
f(x1)=f(x)-f(f(x)/f(a).a)=f(x)-f(x)/f(a).f(a)=0
donc x=x1+qa (x1,q) €Ker(f)*Ik et alors E = H (+) IKa

Sauf erreur !

j'essaierai plus tard avec le reste !

pour la troisième question, je me bloque en ce qui concerne le fait de montrer que F+G=E

aissa a écrit:

soit E un IK ev et F s e v de E
..........
3)montrer que F={f application deIR ds IR/ f(2) =0} et
G={f IR -->IR/ il existe a ds IR, pour tt x de IR f(x) =ax}
sont supplementaires dans IR^IR .....

Il s'agit de montrer que toute application f de IR dans IR s'écrit sous la forme f=u+v avec :
u de la forme u(x)=a.x pour tout x dans IR et v(2)=0 .
S'il en était ainsi on devra avoir :
f(x)=a.x + v(x)
on aura alors v(x)=f(x)-a.x
La condition v(2)=0 s'écrira f(2)-2.a=0 d'ou a=(1/2).f(2) .
Par conséquent :
u : x -------------> u(x)=(1/2).f(2).x
et
v : x -------------> v(x)=f(x)-(1/2).f(2).x

C'est tout simple Mehdi !!

Allé Portes-Toi Bien !! LHASSANE

Bonsoir à toutes et tous
Excusez moi si je dit une bétise (j'ai pas fais d'algébre linéaire depuis un bon moment)
-F est un hyperplan de E={f de R vers R}=Ker(phi) (par 2)
où phi:E-->R
g-->g(2)
-on a phi(x-->1/2x)=1
a=x-->1/2x ...
d'où par 1 on a la somme directe

C'est Clair Mnt Mr.Lhassane !
Pour le reste je ne vois pas d'objection !
Salut !

BSR Tout le Monde .....

En fait joystar1 a choisi un RACCOURCI , il démontre le 3) comme COROLLAIRE de 1) et 2) réunis !!

A cet égard , j'ai des objections constructives à faire :
L'application suivante :
f -------> f(2) est une FORME LINEAIRE sur IR^IR et non nulle donc son Noyau , qui n'est autre que F , est un Hyperplan .
On en déduit que IR^IR est SOMME DIRECTE de F et d'un sev de IR^IR qui devrait être une DROITE VECTORIELLE
( de Dim 1 sur IR ) donc cette droite vectorielle devrait être de la forme IR.g
ou g est une application de IR dans IR n'appartenant pas à F donc astreinte seulement à vérifier g(2)<>0 .

CONCLUSION : pour n'importe quelle application g de IR^IR telle que g(2)<>0 on aura IR^IR=SOMME DIRECTE de F et IR.g

Dans la question 3) on a pris g(x)=x pour tout x dans IR
MAIS on aurait pu prendre aussi :
g(x)=exp(x) pour tout x dans IR et celà marche !!

Bon Week-End à Vous !! LHASSANE

Je vous ajoute qqch d'important :