Exo

f(x,y)= x^4+2y^4 -2x²y² -x² -2y²
1. montrez que (u-v)²+v²>= 1/4(u²+v²) (u,v)€ IR²
2. en déduire que:
a. f(x,y) tend vers +OO quand (lxl+lyl) tend vers +OO
b. L'ensemble { (x,y): f(x,y) =<0} est cmpact
c. f atteint son minimum sur IR²

-je suis surtuot interessé par 2.b et 2.c

2.b)
on pose A:={(x;y) / f(x;y) =< 0} = f^(-1) (]-00,0]) alors
il est clair que AC IR² et puisque f est continue alors A est fermé. et d'apres a on a lim(||X|| -->+00) f(x) = +00 donc il existe un b£IR tq f(x) >= b pr tt x alors A est une partie bornée d'où A est compacte.

Rappel : tt partie fermé borné dans IR² est compacte
...

BSR codex00 !!

Pour le 2/ c) , il s’agit d’un résultat général …..
Soit f : (x ,y) -----> f(x,y) une application CONTINUE sur IRxIR à valeurs dans IR et qui vérifie la Condition de Coercivité suivante :
Lim f(x,y) = +oo lorsque ||(x,y)|| -----> +oo
Alors f admet un Minimum et atteint ce minimum .

En effet :
Pour tout A>0 il existe R>0 tel que si ||(x,y)|| > R alors f(x,y) > A .
Considérons l’ensemble :
F={(x,y) dans IRxIR ; f(x,y)<=A }

1) F est fermé dans IRxIR car Image Réciproque de ]-oo ;A] par une application CONTINUE f .
2) F est inclus dans la Boule Fermée de centre (0,0) et de rayon R laquelle est une partie COMPACTE de IRxIR
Par suite F est un COMPACT de IRxIR et de là f admet un MINIMUM sur F et il est atteint quelquepart en un point de F donc de IRxIR .

LHASSANE

ce resultat c'est vrai car IR² est un espace de banach reflexif et convexe ...

Grand merci à toi Wagshall.
Grand merci à Oeil-de-Faucon