BJR Mehdi !!
Pour la 1) : Tu considères l'application
f de IK[X] dans IK[X] définie par f(P(X))=A(X).P(X)
Il est facile de vérifier que f est un endomorphisme de IK[X] et de là
A.IK[X] est tout simplement le sev Imf de IK[X]
Donc inutile de réinventer la roue ......
C'est même , au point de vue Structure Algébrique , un IDEAL de IK[X] .
Pour la 2) : C'est tout simplement l'Axiome Fondamental de la Division Euclidiennne
dans IK[X] que l'on utilise ici ... En supposant A(X) <> O.
Pour tout polynôme U(X) de IK[X] il existe un couple unique de polynômes (P(X);R(X)) tels que :
(i) : U(X)=A(X).P(X) + R(X) avec
(ii) R(X)=0 ou ( exclusif ) Degré R(X) < Degré A(X)=n
Par suite R(X) est dans IKn[X] et IK(n)[X](+)AIK[X]=IK[X] puisque par ailleurs IKn[X] inter A.IK[X] ={O}
LHASSANE
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