Espaces vectoriels

Sujet: Re: Espaces vectoriels Jeu 25 Mar 2010, 20:10

Salam
**mq que t est lineaire
soit f et g deux fonction et a £IR
T(f+ag(x))=int[0..x;exp(-bt).(f+ag)(t)]=int[0..x;exp(-bt).(f)(t)]+int[0..x;exp(-bt).(ag)(t)]=int[0..x;exp(-bt).(f)(t)]+a(int[0..x;exp(-bt).(g)(t)])=
=T(f)(x)+aT(g)(x)
d'ou la linearité de T
**mq que T est injective
soit f £ ker(T)
alors T(f)=0
donc int[0..x;exp(-bt).(f)(t)]=0
exp(-bt).(f(t))]=0
et comme exp(x)#0
donc f(t)=0 dnc f =0
et comme {0}¨£ker(T)
alors kerf={0}
dnc t injective
A+Waraq

Sujet: Re: Espaces vectoriels Jeu 25 Mar 2010, 20:24

paheli a écrit:: Salam .....
**mq que T est injective
soit f £ ker(T)
alors T(f)=0
donc int[0..x;exp(-bt).(f)(t)]=0
exp(-bt).(f(t))]=0
et comme exp(x)#0
donc f(t)=0 dnc f =0
et comme {0}¨£ker(T)
alors kerf={0}
dnc t injective
A+Waraq

BSR paheli !!
Je pense qu'il y un passage que tu ne peux pas faire ....
C'est le suivant :
Pour tout x dans IR , si INT {t=0 à x ; exp(-b.t).f(t).dt } =0 alors f=0

C'est faux en général SAUF si on suppose que f est positive sur IR ;
Par conséquent exodian80 devrait MODIFIER son énoncé ainsi :
E=Co(IR; IR+) .

Portez-Vous Bien !!! LHASSANE

Sujet: Re: Espaces vectoriels Dim 28 Mar 2010, 01:36

comme je vois il s'agit de la transformation de Laplace de la fonction f.

il est clair que T est deja lineaire de E dans E donc endomorphisme (L(E)) et si T est injective donc forcement est surjective d'où T est un automorphisme ... mais je d'accord avec Bison_Futé

Sujet: Re: Espaces vectoriels Dim 28 Mar 2010, 10:51

Bison_Fûté a écrit:

paheli a écrit:: Salam .....
**mq que T est injective
soit f £ ker(T)
alors T(f)=0
donc int[0..x;exp(-bt).(f)(t)]=0
exp(-bt).(f(t))]=0
et comme exp(x)#0
donc f(t)=0 dnc f =0
et comme {0}¨£ker(T)
alors kerf={0}
dnc t injective
A+Waraq

BSR paheli !!
Je pense qu'il y un passage que tu ne peux pas faire ....
C'est le suivant :
Pour tout x dans IR , si INT {t=0 à x ; exp(-b.t).f(t).dt } =0 alors f=0

C'est faux en général SAUF si on suppose que f est positive sur IR ;
Par conséquent exodian80 devrait MODIFIER son énoncé ainsi :
E=Co(IR; IR+) .

Portez-Vous Bien !!! LHASSANE

Pour tout x dans IR , T(f)(x)= INT {t=0 à x ; exp(-b.t).f(t).dt } =0
==> en dérivant T(f), exp(-b.x).f(x)=0, Pour tout x dans IR
==> f(x)=0, Pour tout x dans IR
==>f=0

Il est clair que ImT est un sous espace de C^1(R,R)
Inversement soit g€C^1(R,R) tel que g(0)=0
T(f)=g
<==> exp(-b.x).f(x)=g'(x) , Pour tout x dans IR
<==> exp(b.x).g'(x)=f(x) , Pour tout x dans IR

==> Im T=C^1(R,R)nH où H = Ker S est l'hyperplan de C^1(R,R) et la forme linéaire S est définie par : S(f)=f(0)