arithmétique ..

Fn = 2^(2^n) +1 . Montrer que
les Fn sont deux `a deux premiers entre eux. bnne chance :

Javais aussi essayé de faire cette exo (il est dans le manuel BACSM) mais je n'ai pas réussi.

Je crois que c'est plutôt :
F_{n}=F_{n-1}.F_{n-1}...F_{0}+2

Sylphaen a écrit:

Je crois que c'est plutôt :
F_{n}=F_{n-1}.F_{n-1}...F_{0}+2

wé ta raison Sylphaen rac c +2

salam,

on peut aussi se lancer simplement du fait que F_n =( F_(n-1) - 1 )² + 1
c.à.d F_(n+2) = ( F_(n+1) - 1 )² +1
et puisque (F_(n+1) - 1)² = 4F_n - 4

donc 4F_n - F_(n+2) = 3

posons d diviseur de F_n et F_(n+2)
donc d divise 3 ===> d=1 ou d=3

pour d = 1 ===> BEZOUT and done!
pour d = 3 ===> contre-exemple

donc PGCD( F_n , F_(n+2) ) = 1

CQFD...

sauf erreur...

en attente de vos rectifications!!

Incomplet! tu n'as prouver que F_{n+2} est premier avec F_{n}, et F_{n} premier avec F_{n-2}, mais qu'est ce qui se passe entre F_{n+2} et F_{n-2}, ta solution ne nous donne pas de reponse, même chose pour F_{n+1}. il te faut prouver que quelque soit i et j de IN, on a PGCD(F_i,F_j)=1

@Sylphaen: merci pour la remarque, c'était une faute de frape.

oui, tu as raison!
j'ai mal compris la question je croyais que "deux à deux" insinuait F_n et F_(n+2)!
merci pour ta remarque

et d'ailleurs la solution sera bcp plus facile en utilisant l'indice que tu as donné:

étude du diviseur commun (d) ==> d / 2

d = 1===> BEZOUT
et d=2 ===> contradiction(parité)