Suite de fct

Bonjour

fn(x)=n*sinx*(cosx)^n


etudier la cvrgnce simple
puis INT(0,pi/2)fn(x)
en déduire si fn(x) converge uniformément.

Ayem_2R a écrit:

Bonjour

fn(x)=n*sinx*(cosx)^n


etudier la cvrgnce simple
puis INT(0,pi/2)fn(x)
en déduire si fn(x) converge uniformément.

Good Evening Ayem !
Happy to see You Back to the Forum …..
Pour ton exo …. Apparemment tu étudies la C.S de la suite {fn}n sur [0;Pi/2]
Pour x=0 fn(0)=0 pour tout entier n .
Ainsi que pour x=Pi/2 , on a fn(Pi/2)=0 pour tout n .
Maintenant si x est FIXE dans ]0 ;Pi/2[ , on pourra écrire :
{f(n+1)(x)}/fn(x) =((n+1)/n).COS(x)
On a ici Lim {f(n+1)(x)}/fn(x) = COS(x) lorsque n-----> +oo
Comme 0<COS(x)<1 , alors on peut en déduire que Lim fn(x)=0 quand n -----> +oo .

En conclusion , la suite {fn}n Converge Simplement vers la fonction identiquement nulle sur [0 ;Pi/2] .

On a INT{ t=0 à Pi/2 ; fn(t).dt }= ????
La dérivée de {COS(x)}^(n+1) est égale à
-(n+1).SIN(x).{COS(x)}^n
Donc une PRIMITIVE de fn serait -(n/(n+1)).{COS(x)}^(n+1) + Cste
D’où INT{ t=0 à Pi/2 ; fn(t).dt }= n/(n+1)
Cette suite converge vers 1 lorsque n -----> +oo .

La suite {fn}n ne peut Converger Uniformément sur [0 ;Pi/2] vers la fonction NULLE sans quoi un résultat du Cours entrainerait que INT{ t=0 à Pi/2 ; fn(t).dt } devrait converger vers
INT{ t=0 à Pi/2 ; O.dt }= O lorsque n ----> +oo ce qui est FAUX .

LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

....
Maintenant si x est FIXE dans ]0 ;Pi/2[ , on pourra écrire :
{f(n+1)(x)}/fn(x) =((n+1)/n).COS(x)
On a ici Lim {f(n+1)(x)}/fn(x) = COS(x) lorsque n-----> +oo
Comme 0<COS(x)<1 , alors on peut en déduire que
Lim fn(x)=0 quand n -----> +oo .......

BSR Ayem !!

Puisque x est fixé dans [0;Pi/2] on va poser A=COS(x)
On a pour tout entier n , {f(n+1)(x)}/fn(x) =((n+1)/n).A
Pour n entier donné , on va écrire :
fn(x)={fn(x)/f(n-1)(x)}.{f(n-1)(x)/f(n-2)(x)}.......
..... {f3(x)/f2(x)}.{f2(x)/f1(x)}
=(n/(n-1)).A .((n-1)/(n-2)).A .............. (3/2).A.(2/1).A

Tu as (n-1) facteurs dans cette expression ...

Il va se produire des SIMPLIFICATIONS et tu obtiendras :

fn(x)=(n/1). A^(n-1)=n.A^(n-1)
Si tu prends le LOG de tout celà , tu auras :
Ln(fn(x))=Ln(n) + (n-1)Ln(A)=n.{(1-(1/n)).Ln(A) + Ln(n)/n }

Comme 0<A<1 et que Lim Ln(n)/n =0 lorsque n ----->+oo
alors Ln(fn(x) = -oo donc fn(x) ------> 0 lorsque n ---->+oo

LHASSANE

BJR Ayem !!

C'est vrai que c'est un peu dur ....
Les Préparationnaires , par contre , connaissent bien ce résultat !!
Cependant , on peut y arriver DIRECTEMENT :

Pour x fixé dans ]0;Pi/2[ , on a :
Ln( fn(x))= Ln(n)+Ln(SIN(x))+n.Ln(Cos(x))
=n.{Ln(n)/n +Ln(SIN(x))/n + Ln(COS(x))}

Or tu sais bien que Ln(n)/n ------> 0 quand n ---->+oo
De plus Ln(SIN(x))/n ---------> 0 aussi ;
Donc :
Lin Ln(fn(x)) = -oo quand n -----> +oo
ce qui veut dire que Lim fn(x)=0 quand n -----> +oo

et par conséquent {fn}n ---- CS ------> 0 sur [0;Pi/2]

Bonne Journée ! LHASSANE