Connu, mais je veux sa demonstration !!

Montrer que:
p est un nombre premier tel que p=4k+1 ; k entier naturel ssi
il éxiste (x,y) élément de N² tel que: p=x²+y².

Je ne suis pas un expert en mathématique ( encor moin en arithmétique ) donc voila ma réponse ( et ne me meprennez pas si il y a une faute banal ) :
donc on sait qu'un nombre premier ne peut être que congru a 1 ou a 3 modulo 4
supposons qu'il est congru a 3 modulo 4
on a x^2 congru a 0 ou a 1 modulo 4
donc x^2+y^2 congru a 0 ; 1 ; 2 modulo 4
maintenant si on suppose qu'un premier p=4k+3 et qu'il s'écrit sous la forme p=x^2+y^2 ceci serai absurde vu que deux carrés parfait ne peuvent être congru a 3 modulo 4 ...
or si ce premier est congru a 1 modulo 4 il existerait un couple unique de nombre satifaisant l'énoncé ... Sauf erreur ^^

darkpseudo a dit:
or si ce premier est congru a 1 modulo 4 il existerait un couplu unique de nombre satifaisant l'énoncé


C'est ca le plus dur à démontrer ; ce que tu as un peu baclé!!

démontrer le!![/b]

supposons qu'il existe deux couples dont les nombres sont distincts deux a deux on aurais une equation de la forme :
x^2+y^2=a^2+b^2
(x-a)(x+a)=(b-y)(b+y)
...
Ensuite je ne saurais te donner une preuve forte et appuyer mais n'est-il pas évident que cette équation n'as pour solution que x=b et y=a ?!
Sinon je demande l'intervention d'une tierce personne ou d'un contre-exemple xd ( même si je suis sûr que ce dernier n'existe pas ) Aussi je trouve que ce serait un beau défis que de prouver l'unicité de la solution de cette equation dans N ... ^^

darkpseudo a écrit:

supposons qu'il existe deux couples dont les nombres sont distincts deux a deux on aurais une equation de la forme :
x^2+y^2=a^2+b^2
(x-a)(x+a)=(b-y)(b+y)
...
Ensuite je ne saurais te donner une preuve forte et appuyer mais n'est-il pas évident que cette équation n'as pour solution que x=b et y=a ?!
Sinon je demande l'intervention d'une tierce personne ou d'un contre-exemple xd ( même si je suis sûr que ce dernier n'existe pas ) Aussi je trouve que ce serait un beau défis que de prouver l'unicité de la solution de cette equation dans N ... ^^

Je n'ai pas regardé le reste du fil et n'interviens que pour ce message précis : il existe de nombreux nombres qui peuvent se décomposer en plusieurs sommes de deux carrés :

(uv+wt)^2+(uw-vt)^2=(uv-wt)^2+(uw+vt)^2

Il n'est donc pas évident dans le cas général que l'équation x^2+y^2=a^2+b^2 n'ait pour solution que x=a et y=b