DES FONCTIONS

slt tt l mnd
f(x)=f(x-1)=x^2
suposant que f(19)=99
calculez f(94)
2-
f(x)*f(y)-f(xy)=y/x+y/x
calculer f(2)

N.B df=IR*

ajoutez o6i :
f appartiens à IR
2f(x)+f(1-x)=x^3
calculez f(6)

Je commence par le deuxième:
Posons f(1)=a et f(2)=b et f(1/2)=c.
On a f(x)*f(y)-f(xy)=(x/y)+(y/x).
On prend x=1 et y=1.
Donc f(1)*f(1)-f(1*1)=(1/1)+(1/1).
Donc [f(1)]^2-f(1)=1+1.
Donc a^2-a=2.
Donc a^2-1-a-1=0.
Donc (a-1)(a+1)-(a+1)=0.
Donc (a-1-1)(a+1)=0.
Donc (a-2)(a+1)=0.
Donc a-2=0 ou a+1=0.
Donc a=2 ou a=-1.==>(**)
D'autre part, on a f(x)*f(y)-f(xy)=(x/y)+(y/x).
On prend x=1/2 et y=2.
Donc f(1/2)*f(2)-f(2*1/2)=(2/(1/2))+((1/2)/2).
Donc f(1/2)*f(2)-f(1)=(4)+(1/4).
Donc c*b-a=4+ 1/4.
Donc bc-a=17/4.==>(1)
D'autre part, on a f(x)*f(y)-f(xy)=(x/y)+(y/x).
On prend x=1 et y=1/2.
Donc f(1)*f(1/2)-f(1*1/2)=(1/(1/2))+((1/2)/1).
Donc f(1)*f(1/2)-f(1/2)=(2)+(1/2).
Donc f(1/2)[f(1)-1]=2 +1/2.
Donc c(a-1)=5/2.==>(2)
D'autre part, on a f(x)*f(y)-f(xy)=(x/y)+(y/x).
On prend x=1 et y=2.
Donc f(1)*f(2)-f(1*2)=(1/2)+(2/1).
Donc f(1)*f(2)-f(2)=(1/2)+(2).
Donc f(2)[f(1)-1]=1/2 +2.
Donc b(a-1)=5/2.==>(3)
Pour trouver les valeurs de a, b et c, on a qu'à résoudre le système formé par les équations 1 et 2 et 3, en faisant attention à **.
Le système est ainsi:
bc-a=17/4.
c(a-1)=5/2.
b(a-1)=5/2.
Si a=-1 le système devient:
bc-(-1)=17/4.
c(-1-1)=5/2.
b(-1-1)=5/2.
Donc
bc+1=17/4.
-2c=5/2.
-2b=5/2.
Donc
c=-5/4.
b=-5/4.
Ce qui ne vérifie pas la conition bc+1=17/4.
Si a=2 le système devient:
bc-2=17/4.
c(2-1)=5/2.
b(2-1)=5/2.
Donc
bc-2=17/4.
1*c=5/2.
1*b=5/2.
Donc
c=5/2.
b=5/2.
Ce qui vérifie la condition bc-2=17/4.
On conclut que a=2 et b=5/2 et c=5/2.
Donc f(1)=2 et f(2)=5/2 et f(1/2)=5/2.
Sauf faute de frappe.

Pour le troisième:
On a 2f(x)+f(1-x)=x^3.
On remplace x par 1-x.
Donc 2f(1-x)+f(1-(1-x))=(1-x)^3.
Donc 2f(1-x)+f(1-1+x)=1-3x+3x^2-x^3.
Donc 2f(1-x)+f(x)=1-3x+3x^2-x^3.
Posons f(x)=a et f(1-x)=b.
Pour trouver l'expression de f(x), on résoud le système:
2a+b=x^3.
2b+a=1-3x+3x^2-x^3.
Cela donne 2a+b+2b+a=x^3+1-3x+3x^2-x^3.
Donc 3a+3b=1-3x+3x^2.
Donc 3(a+b)=1-3x+3x^2.
Donc a+b=(1-3x+3x^2)/3.
Donc a+b=x^2-x+(1/3).
On résoud maintenant le système éqivalent:
2a+b=x^3.
a+b=x^2-x+(1/3).
Cela donne 2a+b-(a+b)=x^3-[x^2-x+(1/3)].
Donc 2a+b-a-b=x^3-x^2+x-(1/3).
Donc a=x^3-x^2+x-(1/3).
Finalement f(x)=x^3-x^2+x-(1/3).
Pour x=6.
On trouve f(6)=6^3-6^2+6-(1/3).
Donc f(6)=216-36+6-(1/3).
Donc f(6)=186-(1/3).
Donc f(6)=557/3.
Même résultat trouvé si on trouve l'expression de f(1-x) et on pose x=-5.
Sauf faute de frappe.

Sylphaen a écrit:

f(x)+f(x-1)=x²
f(x-1)=(x-1)²-f(x-2)=(x-1)²-(x-2)²+f(x-3)
f(x-1)=(x-1)²-(x-2)²+(x-3)²-f(x-4)
f(x-1)=(x-1)²-(x-2)²+(x-3)²-(x-4)²+f(x-5)
f(x-1)=(x-1)²-(x-2)²+(x-3)²-(x-4)²+(x-5)²-f(x-6)
=>
f(x)-f(x-6)=x²-[(x-1)²-(x-2)²+(x-3)²-(x-4)²+(x-5)²]
=2x-1 +2x-5+2x-9
=6x-15 (1)
f(x-6)-f(x-12)=6(x-6)-15=6x-51 (2)
(1)+(2) =>f(x)-f(x-12)=12x-66 (3)
f(x-12)-f(x-24)=12(x-12)-66=12x-210 (4)
(3)+(4) => f(x)-f(x-24)=24x-276 (5)
f(x-24)-f(x-48)=24(x-24)-276=24x-852 (6)
(5)+(6) => f(x)-f(x-48)=48x-1128
et on a :
f(x-48)-f(x-72)=24(x-48)-276=24x-1428
Donc :
f(x)-f(x-72)=72x-2556
Et on a :
f(x-72)-f(x-74)=2(x-72)-1=2x-145
Donc :
f(x)-f(x-74)=74x-2701
x=94
f(94)-f(20)=4255
Et on a :
f(20)=20²-f(19)=381
Donc :
f(94)=4638

C'est la réponse du troisième.

Ce sont des réponse faites avant l'étude de la leçon.
J'espère que les résultats soient justes.

le 3eme est trop facile:
on a :2f(x)+f(1-x)=x^3
alors:2f(6)+f(-5)=216
et : 2f(-5)+f(6)=-125
aprés la resolution du systéme ,on obtiendra:f(6)=557/3
J'ai aimé ta façon de faire nmo!Bravo

Pour la premiére je n'est pas compris comme f(x) = x^2 et f(19) = 99
Pour la seconde prenons x=1 et y=2
on aura f(2)(f(1)-1) = 4
et prenons x=2 et y = 1
on aura f(2) ( f(1) -1 ) = 1 ce qui equivaut a 4=1 ce qui est absurde !!
Pour le troisiéme :
2f(6) + f(-5) = 216
f(-5) = 216 - 2 f(6)
aussi : 2f(-5) + f(6) = -125
f(-5) = (-125-f(6) ) /2
donc : (-125-f(6) ) /2 = 216 - 2 f(6)
on résoud l'équation et on trouve :
f(6) = 557/3
Sauf erreur !

Oé moi aussi j'ai rien pigé au 1er exo!!

Dsl Elluizi , on a poster la réponse en même temps ; j'ai pas copier la tienne !

je sais,je sais!!

darkpseudo

Au lieu de faire : f(x)=f(x-1)=x^2 (Ca serait trés facile.)

On peut faire : f(x)+f(x-1)=x²
suposant que f(19)=99
Donc: calculez f(94)

Bonne chance.