Exo des suites

soit (Un) une suite définie par:
U0 et U1 appartiennent à IR*+, et:
U(n+2)=2/(1/Un + 1/U(n+1) )

Quelle est la monotonie de (Un)??

Personne?

BJR Achraf !!

Hier soir déjà , je t'avais suggéré de considérer la suite (V(n))n définie par V(n)=1/U(n) pour chaque entier n .
Cette suite vérifie la Double Récurrence :
V(n+2)=(1/2).{V(n)+V(n+1)} avec V0 et V1 donnés .

Il est facile d'étudier cette dernière suite et de constater ( je crois ) que les sous-suite (V(2n+1))n et (V(2n))n sont adjascentes et convergent vers une limite notée L comprise entre V0 et V1 ...

A toi de déduire les résultats sur la suite initiale (U(n))n par INVERSION ......

LHASSANE

Donc on peut dire que la monotonie de (Un) dépend de la parité de n???

achraf_djy a écrit:

Donc on peut dire que la monotonie de (Un) dépend de la parité de n???

BJR Achraf !!

Ce n'est pas tout à fait celà !!!
La monotonie de la suite (Un)n est quelquechose de global ...
Précisément , je vois que tu n'arrives pas à conclure .... Il faut s'y prendre comme celà :

1er Cas : U0=U1 alors c'est le seul cas facile à traiter car la suite (Un)n est CONSTANTE .....

2ème Cas : si U0 < U1 alors V1<V0 alors comme je te l'ai indiqué dans mon Topic plus haut , la suite (V(2n+1))n est strictement croissante et la suite (V(2n)n est strictement décroissante ; elles sont adjascentes et CONVERGENT vers L=(1/2).{(1/U1)+(1/U0)} Moyenne Harmonique de U0 et U1 . Il en résultera par INVERSION que les deux sous suites (U(2n+1))n et (U(2n))n sont également adjascentes .... et on n'a aucune Propriété de Monotonie sur la suite globale (Un)n .

3ème Cas : si U1 < U0 alors V0 < V1 ..... et c'est un Cas similaire au 2/ .

LHASSANE

Salam Mr!!
vous avez dit que
" la suite (V(2n+1))n est strictement croissante et la suite (V(2n)n est strictement décroissante "
Donc d'apres ça on peut deduire que (U(2n+1))n est strictement décroissante et que (U(2n))n est strictement croissante
donc si n est pair : n=2N (U(n))n est strictement croissante et pour n impair : n=2N+1 (U(n))n est strictement décroissante.
J'ai paas bien comprit ce qui est faux???
Merci bien!!

achraf_djy a écrit:

Salam Mr!!
vous avez dit que
" la suite (V(2n+1))n est strictement croissante et la suite (V(2n)n est strictement décroissante "
Donc d'apres ça on peut deduire que (U(2n+1))n est strictement décroissante et que (U(2n))n est strictement croissante
donc si n est pair : n=2N (U(n))n est strictement croissante et pour n impair : n=2N+1 (U(n))n est strictement décroissante.
J'ai paas bien comprit ce qui est faux???
Merci bien!!

BSR Achraf !!
Le fait que (U(2n+1))n et (U(2n))n soient MONOTONES ( et de sens de Variations Opposés ) n'implique pas que la suite entière (U(n))n soit MONOTONE !!

Par exemple : regarde la suite ((-1)^n/n)n
Cette suite n'est pas MONOTONE car elle oscille .....
Mais ses deux sous-suites (u(2n)=1/2n)n et (u(2n+1)=-1/(2n+1))n
sont MONOTONES .....
Tu vois la nuance ......

LHASSANE

Merci! maintenant c'est claire pour moi!

achraf_djy a écrit:

soit (Un) une suite définie par:
U0 et U1 appartiennent à IR*+, et:
U(n+2)=2/(1/Un + 1/U(n+1) )
Quelle est la monotonie de (Un)??

BJR Achraf !!
Je te réponds directement sur ton Topic ...

La suite (un)n est toute entière à termes dans IR+*.
La suite (vn)n définie par vn=1/un pour tout entier n vérifie la relation de récurrence : v(n+2)=((vn+v(n+1))/2 pour chaque entier n .

Supposons la suite (un)n STRICTEMENT MONOTONE alors la suite (vn)n serait aussi STRICTEMENT MONOTONE mais de sens de variation OPPOSE.

Dans tous les cas de figure , on aurait v(n+2) à l'extérieur du segment d'extrêmités vn et v(n+1) pour chaque entier n ; or v(n+2) est EXACTEMENT le MILIEU du SEGMENT d'extrêmités vn et v(n+1) donc se trouvera entre vn et v(n+1)
et ceci est naturellemnt INCOMPATIBLE !!!!!

Par conséquent , il est IMPOSSIBLE que la suite (un)n soit STRICTEMENT MONOTONE ......

LHASSANE