Tiré de notre DS

j'ai bcp aimé une kestion la voici
(Un) est une suite
tel que
U_0 =0
U_1=2
U_(n+2)=4U_(n+1)-3U_n
on donne S_n=(U_n)/2
1) Montrer que S_n £ IN (pour tt n de IN)
2) MOntrer avec 2 façons différentes que S_n et S_(n+1) sont premiers entre eux! (pour tt n de IN*)
BONNE CHANCE

Pour la premiere on ferais une reccurence , et puisque U_1 et U_0 sont pair donc toute combinaison des deux est pair !

Pour le deuxiéme voila la premiére méthode :
En procédent par réccurence :
S_1=1
S_2 =4 premiers entre eux

Supposons que :
S_(n) et S_(n+1) premier entre eu et montrons que
S_(n+1) et S_(n+2)
On a S_(n+2) = 4 S(n+1) - 3 S_(n)
Si IL EXiste un k >1 ki les divise alors ce k diviserai S(n+1) et diviserait S_(n) car il ne peut diviser 4 et 3 en même temps
et ceci serai absurde selon la supposition de réccurence , ce qui conclu


Deuxiéme méthode :
On peut montrer que si k divise deux terme suivi de la suite alors il divisent tout ses termes ce qui serait absurde