a divisibility

Trouvez tous les entiers a et b tel que ab²+b+7 | a²b+a+b

On a :
a²b+b+a>ab²+b=>ab+1>b²=>ab+1>=b²+1
Donc :
D'autre part :

Cas 1 : a=0
Le condition s'écrit a+8|a => a=0
Cas 2 : b=0
La condition s'écrit 7|a alors le couple (7k,0) est une solution
Si a,b>0 On a les cas suivant :
Cas 3 :
b²=7a
Alors 7|b² et 7|a :
Posons : b=7c ,a=7d;c²=d
La condition s'écrit :

Ce qui est vrai alors le couple (7k²,7k) est une solution
Cas 4:

Donc ce cas on a :

Cas 5 :

Alors on a :

Si b=1 alors on a :

Donc les couples (11,1)et(49,1) sont des solutions .
Si b=2 alors :
Cette dernière n'admet pas de solution .
Enfin :

J'espère que je n'ai rien raté.

c'est un problème de l'OIM 1998;à vrai dire si c'etait exactement le même énoncé que celui du OIM 98,tu n'aurais rien raté.mais regarde bien il s'agit d'entiers et non pas d'entiers naturels! (on n'a pas nécessairement la condition a,b>=0)

slt , je crois que c'est deja posté !!? mais voila une bref soluc !!

on pose S=( a²b + a + b)/(ab² + b + 7 )
on a : |bS-a|=|b²-7a|/(ab² + b + 7 )

si b>=3 : b²=7a d ou la solution est (7k²;7k)
si b=2: |2S-a|=(7a-4)/(4a + 9 ) =< 1 d ==> 7a-4=4a+9 (pour qu'il sera un entier) ==> a=13/3 absurde (a£N)
si b=1 : |N-a|=(7a-1)/(a + 8 )
donc a+8 £ {1;3;19;57}==> a£{11,49} , alors (a,b)=(11,1)ou(49,1)

si a=b=0 ==> la soluc alors est (7k,0)
d'ou la conclusion du S ...