problème N°55 de la semaine (13/11/2006-19/11/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

N'y a-t-il pas une erreur dans l'énoncé?
Soit c'est le +1 qui ne sert à rien,soit c'est A^3-3A^2.
Ciao!

Kendor a écrit:

N'y a-t-il pas une erreur dans l'énoncé?
Soit c'est le +1 qui ne sert à rien,soit c'est A^3-3A^2.
Ciao!

salut Kendor
l'énoncé est corrigée maintenat

n appartient à IN* c'est tout ce qui fo changerje crois

Oumzil a écrit:

n appartient à IN* c'est tout ce qui fo changerje crois

oui il est deja ecrit là au debut de l'enoncé.
n est un entier naturel.

Mahdi a écrit:

Oumzil a écrit:

n appartient à IN* c'est tout ce qui fo changerje crois

oui il est deja ecrit là au debut de l'enoncé.
n est un entier naturel.

mais ca suffit pas fo qu'ils soient non nuls

PS : IN* =IN-{0}

slt
j'ai preferais ce probleme

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour
Soit x (resp. y) le premier (resp. le deuxième) terme de l'expression de A.
==> A=x+y+1 avec x^3+y^3=2n et xy=1
==> (A-1)^3=x^3+y^3+3x²y+3xy²
==> A^3-3A²+3A-1=2n+3A-3
==> A^3-3A²=2n-2
A+

salut
Solution postée
voici la solution de selfrespect

==>
==>
==>
==>

Salut!
Heureux que l'énoncé ait été corrigé.
Solution postée.
Ce problème m'a semblé plus facile que le précédent.
A+
Ciao!
voici la solution Kendor.
Soit un entier naturel non nul n
Soit A=(n-(n^2-1)^1/2)^1/3+(n+(n^2-1)^1/2)^1/3
Soit B=A^3-3A^2

Soit aussi P(X)=X^3-3X-2n

On pose X=u+v
P(X)=0 entraîne u^3+v^3=2n et uv=1
On trouve une solution X=A-1

P(A-1)=0
Donc (A-1)^3-3(A-1)-2n=0
Donc A^3-3A^2+3A-1-3A+3-2n=0
Donc B=2n-2 est un entier.
CQFD.

Kendor.

Rectificatif:A=(n-(n^2-1)^1/2)^1/3+(n+(n^2-1)^1/2)^1/3+1
Mais cela ne change en rien le résultat,c'était juste un oubli à la frappe.

Solution postee..
A++
MERCI
voici la solution de pilotemig29
voici la solution de on utilise le developement Limitee (DL) :

(1+x)^n = 1+nx

--------------------------------------------------------------------
en va simplifiee A en utilisant le DL :

A = (n+(n^2+1)^(1/2))^(1/3) + (n-(n^2-1)^(1/2))^(1/3) + 1

= 3 + (2n-2)/3
=( 1+(2+(2n-2)/3 )

donc A^3 va s ecrire sous la forme :
A^3 = 1+6+2n-2
= 5 + 2n

et A^2 = 1+4+ (2(2n-2))/3
= 5 + (4n-4)/3

donc 3A^2 = 15 + 4n-4 = 11+4n

donc -A^3+3A^2 = 5+2n-11-4n = 6 + 2n

dou A^3-3A^2 est un entier..


MERCI..

solutions postè et a bientot
voici la solution de saiif3301
on a A^3-3A=(A-1)^3-3A+1 et on a
(A-1)^3=2n+3racinecube(n-rac(n²-1))+3raccube(rac(n+rac(n²-1) alors
(A-1)^3-3A+1=2n-2 donc A^3-3A=2n-2 et on a n>=1 alors n-1>=0 et 2n-2 est un
entier donc A^3-3A est un entier de saiif3301

Solution postée !
à+
voici la solution d'Oumzil
Salut ,
voilà la sollution que je proposes :

on pose : a = racine cubique ( n + V(n² -1 ) )
et b = racine cubique ( n - V(n² -1 ) )

on a : A = a+b+1
alors : A^3 = (a+b)^3 + 3(a+b)² + 3(a+b) + 1
= a^3 + 3 a²b + 3 ab² + b^3 + 3a² + 3b² + 6ab + 3a + 3b + 1

donc : A^3 - 3A^2 = a^3 + 3 a²b + 3 ab² + b^3 + 3a² + 3b² + 6ab + 3a + 3b + 1 - 3(a + b + 1 )^2
alors : A^3 - 3A^2 = a^3 + 3 a²b + 3 ab² + b^3 + 3a² + 3b² + 6ab + 3a + 3b + 1 -( 3a² + 3b² + 3 + 6ab + 6a + 6b )

= a^3 + 3 a²b + 3 ab² + b^3 - 3a - 3b - 2

et on a : ab = racine cubique ( n + V(n² -1 ) ) * racine cubique ( n - V(n² -1 ) ) = racine cubique ( n² - n² + 1 ) = racine cubique (1) = 1

alors : ab = 1

donc : A^3 - 3A^2 = a^3 + 3a + 3b + b^3 - 3a - 3b - 2

et on a : a^3 = n + V(n² -1 ) et b^3 = n - V(n² -1 )

alors : A^3 - 3A = n + V(n² -1 ) + n - V(n² -1 ) - 2
= 2n - 2 = 2(n-1)

et puisque n est un entier
alors : 2(n-1) est un entier
donc : A^3 - 3A^2 est un entier

et bonne journée !
Oumzil

solution postée
voici la solution d'aissa
bonjour tout le monde
B=A^3-3A² =A²(A-3)=...=2n-2élément de IN. (x+y+z)²= x²+y²+z²+2(xy+xz+yz))...
aissa

solution postee
voici la solution de Kalm
on a : A^2=(n+(n^2-1)^1l2)^2l3 +(n-(n^2-1)^1l2)^2l3 +3+2[(n+(n^2-1)^1l2)^1l3
+(n-(n^2-1)^1l2)^1l3]
et A-3=(n+(n^2-1)^1l2)^1l3+(n-(n^2-1)^1l2)^1l3 -2
donc: A^3-3A^2=A^2(A-3)=2n-6
donc A^3-3A^2 est un entier

Bonsoir
Solution postée
voici la solution de Khamaths
Bonjour Samir


posons : A = a + b+ 1
avec a = au premier terme de la somme et b le second = 1/a
remarquons que : a^3 + b^3 = 2n
et a*b =1
On a: (A-1)^3= (a+b)^3 = 2n +3(a+b)
donc: A^3 -3A² +3A -1 = 2n + 3A -3
D'où : A^3 -3 A² = 2n -2 € IN pr tt n ds I N

MR sigma envoie par email poste pas ici

slt a tout le monde
solution postée

voici la solution de cherif_119
slt Mr samir
voila ma solution
(A-1)^3=A^3-3*A^2+3*A-1
et
(A-1)^3 = 2*n + 3 A
dnc on conclu