Exo

Soit a,b,c et d de IR*+,sachant que : a+b+c+d=1 ,
démmontrez que 1/a+1/b+1/c+1/d>=16

bonne chance

Donc prenons: a=0,b=0,c=0 et d=1
0+0+0+1>=16
Ce qui est faux

M.Marjani a écrit:

Donc prenons: a=0,b=0,c=0 et d=1
0+0+0+1>=16
Ce qui est faux

1/0 = 0 ?
la division par zéro est impossible .

Arithmysis a écrit:

M.Marjani a écrit:

Donc prenons: a=0,b=0,c=0 et d=1
0+0+0+1>=16
Ce qui est faux

1/0 = 0 ?
la division par zéro est impossible .

Donc il faut ajouter dans l'énoncé:
a,b,c,d £ |R*+

Bonne chance.

Je réponds:
a/b+b/a-2= (a²+b²-2ab)/ab
=(a-b)²/ab
ab>o et (a-b)²>0 car un carré et toujours positif
donc (a-b)²/ab>0
a/b+b/a-2>0
a/b+b/a>2
On fait la meme chose et on obtient:
b/c+c/b>2
a/c+c/a>2
a/d+d/a>2
b/d+d/a>2
c/d+d/a>2
En sommant :
a/b+a/c+a/d+b/a+b/c+bd+c/a+c/b+c/d+d/a+d/b+d/c>12
a/b+a/c+a/d+1+b/c+b/d+b/a+1+c/a+c/b+c/d+1+d/a+d/b+d/c+1>16
a/b+a/c+a/d+a/a+b/a+b/d+b/c+b/b+c/a+c/b+c/d+c/c+d/a+d/b+d/c+d/d>16
a(1/a+1/b+1/c+1/d)+b(1/a+1/c+1/b+1/d)+c(1/a+1/b+1/c+1/d)+d(1/a+1/b+1/c+1/d)>16
(1/a+1/b+1/c+1/d)(a+b+c+d)>16
1/a+1/b+1/c+1/d>16
@+

a+b+c+d=1 Et: a,b,c,d£|R*+

Donc : a,b,c,d £ ]1,0[
Donc on peut jouer avec les variables puisque a,b,c,d £ ]1,0[:
min(a,b,c,d) qui satisfait l'énoncé c'est le cas d'égalité:
a=b=c=d=1/4
Posons: a=1/x, b=1/y, c=1/z d=1/m , (x,y,z,m >=4)
D'aprés IAG on a: x+y+z+m>=4Vxyzm
Puisque: (x,y,z,m >=4) Donc: x+y+z+m>=16
D'ou: 1/a+1/b+1/c+1/d>=16

CQFD.

slt
ou d'apres C.S
(a+b+c+d)(1/a + 1/b + 1/c +1/d)>= (1+1+1+1)²
(1/a + 1/b +1/c + 1/d)>= 4²=16
et vous pouvez supposer une fonction f tel que f(x) = 1/x .
et JENSEN conduit au resultats ^^

C'est Edité M.Marjani,Merci Pour La Remarque!!