matrice à coef entiers

Soit M€ M_n(Z) qu on peut identifier à l'endomorphisme de IK^n canoniquement associé
1) montrer que M(Z^n) C Z^n
2) montrer que M(Z^n) = Z^n <=> M inversible ; que M^-1 € M_n(Z) et que |det(M)|=1
bon courage[b]

Première question

on fixe un vecteur de Zà la puissance n
son produit avec la matrice est encore un vecteur de Zà la puissance n(par calcul matricielle)

Deuxième question

on remarque que la base canonique est dans Zà la puissance n
chaque éléments de la base canonique admet donc un antécédent par l' endomorphisme dans z à la puissance n
il est donc surjectif donc bijectif car la dimension est finie

les antécédents de la base canonique sont dans Zà la puissance n

donc l inverse de la matrice est dans Zà la puissance n (écrire la matrice de l endomorphisme inverse dans la base canonique)
pour le déterminant
le déterminant de l'inverse est l' inverse du determinant de la matrice initial
les deux déterminants appartiennent à Z
donc le déterminant vaut 1 puisque le seul element de z tel que son inverse est aussi dans z est 1
[scroll]

bravo Mouad
det(M) = 1 ou -1
1 0
0 -1