Exo :D

trouver les pairs d'entiers a et b pour que (a^2+b^2+1)/(ab+a+b) soit un entier
Bonne chance

c jolie de voir les gens coincé Mr tarask
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/00_incoming/quad_eqn

j'aurai préféré un peu d'effort personnel maxima mais bn !

est ce ke ta lu ce k'ils ont dit :
This has been known as "the hardest IMO problem ever !!

nn c pas lui c un autre lis bien !!! le plus difficile fut proposé en 1988
je l'ai fait mais je sais pas si c'est juste :p
en tout cas merci !

je me demande comment t'as procédé pour résoudre ce méchant mais joli problème..

tarask a écrit:

(a^2+b^2+1)/(ab+a+b) soit un entier
Bonne chance

si vous parlez de celui-là , maxima vient de trouver une solution sur le web
si vous parlez de l'autre voilà ma réponse , mais j'en suis pas très sûr !


veuillez me corriger mes erreurs j'en serai très reconnaissant

Je crois bien que ta solution est juste!
Le probleme fut decrit comme "the hardest imo prob ever.." juste parce qu'apparemment au temps ou il fut lancé, la formule de Vieta n'était pas connu ce qui rend la tache difficile!!
Sinon ,j'avais cru comprendre que t'as trouvé ta propre solution pour le tout premier exercice celui de (a^2+b^2+1)/(ab+a+b) c'est elle qui m'interesse vraiment..

non pour celui là je lui ai pas encore consacré du temps puisque les membres n'y étaient pas très intéressés !! sinon, vous avez abouti à kk chose vous ?

Je lui est consacré beaucoup de temps,je dirai meme depuis le jour ou tu l'as posté jusqu'à maintenant (j'y travaille encore)..je n'ai abouti à rien encore..
j'ai essayé de la simplifier

On a (a+b+1)^2=a^2+b^2+1+2(ab+a+b) *

donc (a^2+b^2+1)/(ab+a+b) appartient à N
implique que ((a+b+1)^2)/(ab+a+b) appartient à N

maintenant il devient envisageable de proceder par cas..pour que je puisse attribuer à b par rapport à a d'uniques solutions..(en travaillant avec les propriétés de divisibilité..)
pour a=0==>b=1 (unique solution)
a=1==>b=0 ou b=1 ou b=4 ("" "")
a=2==> pas de solutions
a=3==>pas de solutions
a=4==>b=1 ou b=9 ("" "")

Ceci n'aboutit absolument pas à la solution mais donne seulement une idée generale du probleme ..juste pour te montrer qu'il y'a une vraie interéssée^^...(il y'en a surement d'autres)

tarask a écrit:

tarask a écrit:

(a^2+b^2+1)/(ab+a+b) soit un entier
Bonne chance

si vous parlez de celui-là , maxima vient de trouver une solution sur le web
si vous parlez de l'autre voilà ma réponse , mais j'en suis pas très sûr !


veuillez me corriger mes erreurs j'en serai très reconnaissant

Tu es sûr que c'est vraiment ta réponse? Car j'ai vu sur un PDF presque exactement la même

nn nn j'en suis sur oussama c'est bel et bien ma réponse !
elle m'a pris plus précisément 4 heures sans arrêt !

soukki a écrit:

Je lui est consacré beaucoup de temps,je dirai meme depuis le jour ou tu l'as posté jusqu'à maintenant (j'y travaille encore)..je n'ai abouti à rien encore..
j'ai essayé de la simplifier

On a (a+b+1)^2=a^2+b^2+1+2(ab+a+b) *

donc (a^2+b^2+1)/(ab+a+b) appartient à N
implique que ((a+b+1)^2)/(ab+a+b) appartient à N

maintenant il devient envisageable de proceder par cas..pour que je puisse attribuer à b par rapport à a d'uniques solutions..(en travaillant avec les propriétés de divisibilité..)
pour a=0==>b=1 (unique solution)
a=1==>b=0 ou b=1 ou b=4 ("" "")
a=2==> pas de solutions
a=3==>pas de solutions
a=4==>b=1 ou b=9 ("" "")

Ceci n'aboutit absolument pas à la solution mais donne seulement une idée generale du probleme ..juste pour te montrer qu'il y'a une vraie interéssée^^...(il y'en a surement d'autres)

Je crois que l'énoncé indique que a et b sont pairs !!
alors en posant a=2m et b=2n va surement faciliter la tâche !
ou bien avec congruence !

Non Tarask, je crois que t'as mal traduit le prob de l'anglais en francais

La question originale : find pairs of integers a, b such that
a^2+b^2+1)/(ab+a+b)

ce qui ne se traduit pas en : a et b pairs mais plutot les couples (a,b)

Sauf erreur

ooops dsl ma faute !

Voili voulou trouvé :
Comme l'as dit Soukii avant ( je ne l'est pas copié ^^) :
(ab+a+b) /(a+b+1)^2

On a (ab+a+b)/(ab+a+b)^2

On cherchera alors ab+a+b tel que :
(ab+a+b)/(ab+a+b)^2-(a+b+1)^2

ab+a+b / (ab-1)(2a+2b+3-ab)

Si ab+a+b divise ab-1 on aura
a=b=1 ou a=0 et b=1 ou b=0 et a = 1

maintenant si ab+a+b ne divise pas ab-1 elle divise ( 2a+2b+3-ab)

or (a+b+ab) / (2a+2b+2ab)
donc ( a+b+ab)/ (3ab-3)
(a+b+ab)/3(ab-1)

vu qu'on a déja supposé que a+b+ab ne divise pas ab-1
a+b+ab/3

seul solution là encor a =b=1

On en conclu que la solution est constitué des trois couples (1,1) ; ( 1,0) ; ( 0,1)

Je ne tirerai pas de conclusions hatives sur ta démonstration Darkpseudo qui contient evidemment des erreurs (vu les dernieres solutions), j'ai pas le temps de lire ta solution aujourd'hui (mais je t'assure que je le ferai demain..)

Si tu relis bien mon message précedent tu comprendras que t'as loupé plusieurs couples...c'est sur le problème necessite plus d'effort...

darkpseudo a écrit:

Voili voulou trouvé :
On a (ab+a+b)/(ab+a+b)^2

On cherchera alors ab+a+b tel que :
(ab+a+b)/(ab+a+b)^2-(a+b+1)^2

ab+a+b / (ab-1)(2a+2b+3-ab)

*1 ere erreur
(ab+a+b)^2-(a+b+1)^2=(ab-1)(2a+2b+ab+1)

*2 eme erreur
t'as utilisé une propriété inexistante (dépourvue de quelques importants conditions je me permet de dire qu'elle est inexistante)si a/bc et que a ne divise pas b alors elle divise surement c...
4/12 ==>4/2*6
4 ne divise pas 2 donc 4 divise 6?!
...

soukki a écrit:

darkpseudo a écrit:

Voili voulou trouvé :
On a (ab+a+b)/(ab+a+b)^2

On cherchera alors ab+a+b tel que :
(ab+a+b)/(ab+a+b)^2-(a+b+1)^2

ab+a+b / (ab-1)(2a+2b+3-ab)

*1 ere erreur
(ab+a+b)^2-(a+b+1)^2=(ab-1)(2a+2b+ab+1)

*2 eme erreur
t'as utilisé une propriété inexistante (dépourvue de quelques importants conditions je me permet de dire qu'elle est inexistante)si a/bc et que a ne divise pas b alors elle divise surement c...
4/12 ==>4/2*6
4 ne divise pas 2 donc 4 divise 6?!
...

Pour la première oui j'ai fait une faute de calcul , pour la seconde , je pense que tu n'as pas remarqué (je devais le préciser ) que quand j'ai utilisé le théorème , les termes était premiers entre eux !!
Je posterai une autre réponse , en attendant la tienne ^^

tarask a écrit:

tarask a écrit:

(a^2+b^2+1)/(ab+a+b) soit un entier
Bonne chance

si vous parlez de celui-là , maxima vient de trouver une solution sur le web
si vous parlez de l'autre voilà ma réponse , mais j'en suis pas très sûr !


veuillez me corriger mes erreurs j'en serai très reconnaissant

très belle solution tarask!!!

tarask a écrit:

tarask a écrit:

(a^2+b^2+1)/(ab+a+b) soit un entier
Bonne chance

si vous parlez de celui-là , maxima vient de trouver une solution sur le web
si vous parlez de l'autre voilà ma réponse , mais j'en suis pas très sûr !


veuillez me corriger mes erreurs j'en serai très reconnaissant

Cela veut dire que k est un carré parfait : et ensuite ?

c'est ce qu'il faut prouver Dijkschneier
voilà l'énoncé de ce problème : soit a et b deux entiers naturels tels que ab+1 divise a²+b², montrer que (a²+b²)/(ab+1) est un carré parfait .
Pour l'autre problème -qui est l'objet principal de ce sujet- je me suis vraiment cassé la tête mais en vain
Je vous prie tous de poster une solution (si vous en avez biensur) !
Amicalement