exo un peu difficile

tarask a écrit:

que des applications directes hhh passe-temps voici une autre
pour tt a,b>0 et n de Z
prouver que (1+a/b)^n +(1+b/a)^n >= 2^n+1 (sans recurrence)

(parfois on utilise de telles inégos pour prouver d'autres pluuuus compliquées)

Pour n de IN.
Hölder : (1+1)(1+1)...[(1+a/b)^n + (1+b/a)^n] >= [ 2 + (a/b + b/a) ]^n >= 4^n
Cela implique que : (1+a/b)^n + (1+b/a)^n >= 2^(n+1) >= 2^n + 1

oui on peut même la faire avec AM-HM et le fait que a/b+b/a>= 2

Un autre , trouver la plus petite constante T pour :
a,b > 0

a^( 1/6) + b ^(1/6 ) =< T ( a+b)^(1/6)

ayoubmath a écrit:

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p

Faisable par récurrence sur p pour a > 1+1/(2p+1).

darkpseudo a écrit:

Un autre , trouver la plus petite constante T pour :
a,b > 0

a^( 1/6) + b ^(1/6 ) =< T ( a+b)^(1/6)

Hölder => T >= 2^(5/6) avec cas d'égalité pour T = 2^(5/6).

ayoubmath a écrit:

OUI BONNE SOLUTION
JE POSE AUSSI UN AUTRE EXO

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p

Il suffit de prouver que: 2p=<a^{1-p}+a^{2-p}+...+a^{p-1}
Qui est façile avec AM-GM ou bien une autre.

M.Marjani a écrit:

ayoubmath a écrit:

OUI BONNE SOLUTION
JE POSE AUSSI UN AUTRE EXO

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p

Il suffit de prouver que: 2p=<a^{1-p}+a^{2-p}+...+a^{p-1}
Qui est façile avec AM-GM ou bien une autre.

AM-GM directe fera l'affaire

oussama1305 a écrit:

Je poste une inégalité assez classique:
Prouver que :
pour et
Tirée de mathlinks

Hölder : LHS² >= ((x+y+z)^3)/(x^3+y^3+z^3 + k(x²y + y²z + z²x)) = S
Il suffit donc de prouver que sqrt(S) >= 3/sqrt(k+1), ce qui est équivalent à (k - 8 )(x^3+y^3+z^3) + 3(x²y+y²z+z²x) + (Reste positif) >= 0.
Cela est évidemment vrai d'après le fait que k>=8 et que x, y et z soient positifs.

Oussama a écrit:

Oui, 'presque AM-GM annule toutes les autres theo', ces jours je n'utilise que AM-GM

ayoubmath a écrit:

merci mais je ne comprent pas vos idee pour mon exo

pas probleme un autre exo
si a+b=2 montrer que a4+b4>=2

Preuve:

(a+b)^4=16=a^4+b^4+ab(4(a²+b²)+5ab)
=> a^4+b^4>=16-ab(13ab) [AM-GM sur a²+b²]
Or, a²+b²+2ab=4 donc 4>=2ab+2ab [AM-GM] alors ab=<1 => -13(ab)²>=-13.
Revenant et remplaçant: a^4+b^4>=16-13=3, Or a=b=1 est inclus, donc a^4+b^4>=2.

ayoubmath a écrit:

OUI BONNE SOLUTION


JE POSE AUSSI UN AUTRE EXO

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p




.

on a : a^k + a^(-k) >= 2

==> a^(p+k) + a^(p-k) > 2 . a^p

==> on fait entrer le Sigma (k de 0 -> p ) dans les deux c^tés

ça donnera 1 + a + ..+ a^2p > 2(p+1).a^p > (2p+1)a^p