Oral X-2010

MATHS 1 : 42min
1-P polynome non constant (complexe). Mq les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe de celles de P.
2-P=aX^n+X+1 avec a#0 et n plus grand que 3.
Mq P admet une racine de module inférieur ou égal à 2.

MATHS 2 : 45min
1-soit f de classe C 1 sur IR+ tq f+f' tend vers l réel en +00
Montrer que f admet une limite et la donner.
2-IK un corps commutatif, E un IK ev.
A quelle condition sur IK, E est il réunion finie de sev stricts (ie différents de E).

pour la première question, j'a une réponse très vive :p

le cas où a est une racine multiple de P et P' est évident.

soit a une racine de P' qui ne soit pas de P. On sait bien la décomposition P'/P= sum(k=1...k=n) 1/(X-a_k) tels que a_k sont les racines complexes de P. Alors P'(a)/P(a)=0=sum(k=1...k=n) (a-a_k)/|a-a_k|², alors il est bien claire qu'on peu écrire a=(sum(k=1...k=n) p_k*a_k)/(sum(k=1...k=n) a_k).

D'où a est une barycentre des racines de P.

et voilà !

oui , ça s'appelle le théorème de Gauss-Lucas ( généralise rolle dans IR pour les polynomes ...)
Le plus intéressant est la question 2 des deux exercices.

alors pour la deuxième question.

1+x admet comme racine -1. posons x=y-1.

alors 1+(y-1)+a*(y-1)^n=-1+a*(développement de ce truc par le biais du binôme de newton).
le produit des racines de cette dernière équation est égale à (-1)^n. l'une de ces racines a donc un module inférieur à 1. soit a cette racine.

On a alors par hypothèse |a|<1.et par suite |x|=<2.

Voilà!

pour la première question du deuxième exercice, il faut seulement poser g(x)= f(x) exp(x)....ça fait l'affaire.

je reviens à la première question du deuxième exercice. Je vais le rendre plus intéressant.

Généralisation:

si P est un polynôme de degrés n dont les racines sont de partie réelle négative.si P(f(x)) tend vers 0, alors f(x) tend vers 0 quand x tend vers +00.

à toi de jouer Callo!

Si IK est un corps infinie, alors E n'est pas réunion finie de sev stricts. Pourquoi? (c'est trsè classique).

Pour ta proposition concernant l'exo 1 question 2 je pense qu'il y a un pb parce que le produit des racines n'est pas égal à (-1)^n mais à a*(-1)^n
Je propose (suggéré par l'examinateur) d'utiliser la question 1 pour un polynome particulier.
Pour l'exo 2 question 1 c'est juste ( on peut également, poser g=f+f' et exprimer f en fonction de g par variation de la constante et calculer une limite d'intégrales) et pour la généralisation je pense que ça se traite par récurrence.
pour la question 2 de l'exo 2 c'est juste.
Procéder pour cela par récurrence, pour montrer la proposition suivante : " si E est la réunion de V1 ...Vp alors l'un des Vi est égal à E"
si IK est fini, exemple Z/pZ , on peut écrire E comme réunion fini de sev non stricts . donc la cns est IK fini.

pour la question 2 exo 1, j'ai commis une erreur de calcule. Si on insèrre la transformation dans l'équation,on aura quelques choses qui ressemblent à a*(-1)^n+a*y^n+....,d'où le produit est égale à (-1)^(n+1),voilà maintenant c'est correcte.

Oui, j'avais pas bien lu. Tout à fait juste et solution économique en plus.
toute fois on peut introduire X^n*P(1/X) et appliquer le résultat de la première question