integral

slt a tout le monde
f est contine sur [a.b] et derivable sur [a.b] ouvert f(a)=f(b)=0
montrer qu'il existe c de [a.b] ouvert
4/(b-a)²int(ab)If(x)Idx<_If'(c)I
et merci

on aplique la formule de Taylor : on pose x=(a+b)/2
int a^x (f(t)dt=(x-a)f(a)+(x-a)²/2f '(c_1)
int x ^b(f(t)dt = (b-x)f(b) + (b-x)²/2 f '(c_2)
alors |int a^b(f(t) dt |<= (b-a)²/4[1/2(|f'(c_1+f'(c_2)|)=(b-a)²/4 [f'(c)|
f'(c)=1/2[f(c_1)+f'(c_2)]. et conclure.

alors bien vuuu
mais je vois qu'il ya une autre methode n'est ce pa s

peut être plusieur methode.
tu peux poster la seconde méthode?

slt , c'est un Exo de livre(bac) page 180 , soit c £ ]a.b[ , que f atteint son maximum car f(x)>0 x£]a.b[ et f(a)=f(b) => f'(c)=0 , lfl<=f(c) =sup(lf(t)l => intgral{a}{b}(lf"(t)/f(t)l)>intgral{a}{b}lf"(t)l*1/f(c) , or intgral{a}{c}lf"(t)>=intgral{d}{c]>=lf'(d)l (car f'(c)=0 )(d , c'est que lf'l attein) , aussi le TAF f(c)-f(a)<=(c-a)lf"(d)l ==>intgral{a}{b}lf"(t)l*1/f(c) >=1/(c-a) de meme ,;intgral{a}{b}lf"(t)l*1/f(c) >=1/(b-c) on somme on obtien le resultat

aissa a écrit:

on aplique la formule de Taylor : on pose x=(a+b)/2
int a^x (f(t)dt=(x-a)f(a)+(x-a)²/2f '(c_1)
int x ^b(f(t)dt = (b-x)f(b) + (b-x)²/2 f '(c_2)
alors |int a^b(f(t) dt |<= (b-a)²/4[1/2(|f'(c_1+f'(c_2)|)=(b-a)²/4 [|f'(c)|
f'(c)=1/2[f(c_1)+f'(c_2)]. et conclure.

Bonjour Mr AISSA !
J'ai suivi avec interêt votre réponse , il y a une chose qui m'échappe toutefois , car vous posez
f'(c)=1/2[f'(c_1)+f'(c_2)] , je veux bien !!!

Mais qui dit que 1/2[f'(c_1)+f'(c_2)] , comprise entre f'(c_1) et f'(c_2), est une valeur atteinte par f' ???
Il manque un argument de taille à savoir que f' possède la Propriété de La Valeur Intermédiaire ce qui se produirait si par exemple f' était continue et de là Sinchy devrait supposer f de classe C1 sur [a,b] !!!
Qu'en pensez-vous ??? Amicalement . LHASSANE