1907

soit A de M_n(R) a coefficients positifs, irréductible:c'est a dire,si (e_i)i=<n base de R^n,alors il n'existe pas de permutation s de {1,...,n} telle que la matrice A dans la base (e_s(i))i=<n soit triangulaire par blocs.
soit X£(R_+)^n non nul.
on pose r(X)=min_{X_i#0}(AX)_i/X_i avec X_i la ieme composante de X.
montrer que r admet un max sur (R_+)^n-{0} qu'on note a.

et montrer aussi que a£SP(A) et pr tt x£SP(A),l x l=<a

et si vous voulez montrer que dimKer(A-aI)=1.
(vous pouvez commencer par montrer que (I+A)^n-1 est a coefficients strictement positifs).
ce théorème et démontré par perron et généralisé par Frobenius

c'est un joli théorème et un superbe problème pour préparer son algèbre,je vous propose ce petit problème (avec solution) qui traite doucement ce théorème (je vous conseille de ne le pas faire maintenant pour la simple raison qu'on est en vacances):

Spoiler:

merci beaucoup pour le conseille.
mais je l'ai fait "pas récemment" dans un oral ENS en 3 questions,et ce que j'ai posé,mais aussi j'ai ajouté la dernière question qui ne figure pas dans l'exo ENS.
mais aussi pour une version plus aimable de ce problème vous pouvez voir agreg externe 1995.