Merci Mr.Lhassane nepour cet exercice que je trouve pas en fait simple.
Je met en évidence deux cas que je discute séparément.
Si l’un des sous-ensembles A_i contient seulement un seul élément, notons-le sans perdre de généralité {1},alors puisque l’intersection de tous les paires de sous-ensembles a pour cardinal 1,alors l’élément 1 apparient à tous les sous-ensembles. On pose alors T_i=A_i\{1} pour i variant de 2 jusqu’à n.
Vu que les sous-ensembles sont distincts deux à deux, alors les sous-ensembles T_i sont tous non vides et deux à deux distincs. Alors pour tous les i appartenant à {2,…,n}, il existe t_i qui appartient à l’un des T_i et pas aux autres, ce qui donne n-1 éléments distincts de l’ensemble {2,…n}, et bien évidemment l’intersection de tous ces sous-ensembles est égale à E.
Dans le deuxième cas on suppose que le cardinal de tous les sous-ensembles est au moins égale à 2.
(l’idée est simple,j’ai pris l’ensemble {1,2,3,4 } et les quatre sous-ensembles A_1={1,2},A_2=(2,3),A_ 3=(3,4,1) et A_4=(2,4),puis j’ai traduit tout cela matriciellement pour bien voir les choses…)
On considère la matrice M=(m_(i,j))(1=<i,j=<n) avec m_(i,j)=1 si x_i appartient à A_j et m_(i,j)=0 sinon.
Soit U=transpose(M)*M=(u_(i,j))(1=<i,j=<n),alors on a u_(i,i)= #(A_i)>=2 et u_(i,j)=1 pour i différent de j.
La matrice U est inversible (si vous voulez pourquoi je vous le dit) et donc M l’est aussi.Cela veux dire qu’il n’a pas de colones de 0 dans M,et par la suite cela garanti que tout élément de E appartient à au moins à l’un des sous-ensembles A_i.
Bonne journée à tout le monde.
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