TC

1-
Soient x,y et z trois entiers relatifs qui différent deux à deux.
Mq: (x-y)^5 +(y-z)^5 +(z-x)^5 est divisible par le nombre 5(x-y)(y-z)(z-x)
2-
Soient a,b et c les cotées d'un triangle ABC tq:
0<a<=1<=b<=2<=c<=3
Déterminer la surface maximale de ce triangle et calculer dans ce cas les valeurs de a,b et c.

1/ (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5=-5(x^4*y-2x^3*y^2+2x^2*y^3-xy^4 + y^4*z-2y^3*z^2+2y^2*z^3-y*z^4 +z^4*x-2z^3*x^2+2z^2*x^3-z*x^4)=-5(x-y)(y-z)(z-x)[x²-xy-xz+y²-yz+z²]

D'ou le résultat.

Pour le premier exercice:
Posons x-y=a, y-z=b, et z-x=c.
On démontre que a^5+b^5+c^5 est divisible par 5abc.
Remarquons d'abord que a+b+c=x-y+y-z+z-x.
Donc a+b+c=0.
Posons D=a^5+b^5+c^5.
Donc D=(-b-c)^5+b^5+c^5.
Donc D=-(b+c)^5+b^5+c^5.
Donc D=-(b^5+5b^4.c+10b^3.c^2+10b^2.c^3+5bc^4+c^5)+b^5+c^5.
Donc D=-b^5+b^5-c^5+c^5-5b^4.c-10b^3.c^2-10b^2.c^3-5bc^4.
Donc D=-5bc(b^3+2bc²+2cb²+c^3).
Donc D=-5bc[b^3+3bc²+3cb²+c^3-bc(b+c)].
Donc D=-5bc[(b+c)^3-bc(-a)].
Donc D=-5bc(-a^3+abc).
Donc D=-5abc(-a²+bc).
Donc 5abc divise a^5+b^5+c^5 lorsque a+b+c=0.
CQFD.

Bien joué Mokhtar et nmo pour le premier exo!

Essayer avec le 2éme exo!

achraf_djy a écrit:

Essayer avec le 2éme exo!

A cause du temps, je n'ai pas pu écrire la solution.
Posons, en utilisant la substition de Ravi a=x+y, b=y+z, et c=z+x.
Alors 0<x+y<=1<=y+z<=2<=z+x<=3.
Selon la formule de Héron, on a S=V[p(p-a)(p-b)(p-c)].
Avec p le demi périmètre du triangle et a,b, et c les mesures de ses côtés.
On a p=1/2(a+b+c).
Donc p=1/2(x+y+y+z+z+x).
Donc p=1/2(2x+2y+2z).
Donc p=x+y+z.
Et on a p-a=x+y+z-x-y.
Donc p-a=z.
Et de même p-b=x.
Et p-c=y.
Alors S=V[(x+y+z)xyz].
On a, selon IAG, 2Vxy=<x+y.
De même 2Vyz=<y+z.
Et aussi 2Vzx=<z+x.
Soit, en multipliant 2Vxy*2Vyz*2Vzx=<(x+y)(y+z)(z+x).
Donc 8V(xyz)²=<(x+y)(y+z)(z+x).
Donc 8xyz=<(x+y)(y+z)(z+x).==>(1)
Et puisque 0<x+y<=1<=y+z<=2<=z+x<=3.
Il vient que (x+y)(y+z)(z+x)=<1*2*3.
Donc (x+y)(y+z)(z+x)=<6.==>(2)
De 1 et 2, on déduit que 8xyz=<6.
Donc 4xyz=<3.
Donc xyz=<3/4.==>(i)
D'autre part, et puisque 0<x+y<=1<=y+z<=2<=z+x<=3.
Il vient que x+y+y+z+z+x=<1+2+3.
Donc 2x+2t+2z=<6.
Donc x+y+z=<3.==>(j)
De i et j, on déduit que xyz(x+y+z)=<3*3/2*2.
Donc xyz(x+y+z)=<3²/2².
Donc V[(x+y+z)xyz]=<3/2.
Doc S=<3/2.
L'égalité aura lieu si et seulement si x+y=1, y+z=2, et z+x=3.
Soit a=1, b=2, et c=3.
Donc ABC sera aplati. (sa surface sera 0)
Contradiction!!
D'où S<3/2. (la surface est majorée par 3/2)
Sauf erreur.