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Salut je voudrais plusieurs méthodes pour cet exercices SVP
n est un entier naturel montrez que:
1+2+......+n=n(n+1)/2

Azerty1995 a écrit:

Salut je voudrais plusieurs méthodes pour cet exercices SVP
n est un entier naturel montrez que:
1+2+......+n=n(n+1)/2

Méthode pour les collégiens:
Posons : S = 1+2+...+n
On a : S = n+(n-1)+...+2+1
Donc : S+S = 2S = (n+1) + (n-1+2) + ... + (n+1)
Ce qui fait : 2S = n(n+1), d'où la conclusion.

Montrer que :

1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

hypermb a écrit:

Montrer que :
1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

Je pense que cet exercice n'est pas du niveau du collège.
Solution facile, en utilisant les polynôme, pour un tronc commun.
Ou en utilisant la récurrence, pour un science maths.

nmo a écrit:

hypermb a écrit:

Montrer que :
1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

Je pense que cet exercice n'est pas du niveau du collège.
Solution facile, en utilisant les polynôme, pour un tronc commun.
Ou en utilisant la récurrence, pour un science maths.

Il y avait une methode pour les collégiens, mais cette methode utilise combien vaut 1²+2²+3²+...+n

Or, cette derniére formule est compliqué pour la montrer avec methode de collége.

hypermb a écrit:

Montrer que :
1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

Je vais répondre:
On écrit les naturels impairs successifs de la façon indiquée ci-dessous, la n-ième ligne comprends n naturels:
.
Trivialement, on remarque que la somme des naturels de la n-ième lignes est n^3.
On remarque aussi que le premier nombre de la n-ième ligne est n²-n+1.
On remarque aussi que le dernier nombre de la n-ième ligne est n²+n-1.
Maintenent au travail: Calculons la somme S:
On a S=1^3+2^3+...+n^3.==>(1)
Et d'autre manière:
On a S=1+3+5+...+n²+n-1.
Cette somme comporte 1+2+3+..+n nomes.
Et aussi S=n²+n-1+n²-n-1+...+3+1.
Donc 2S=n²+n-1+1+... . (ce terme se répète tel fois que le nombre de nomes)
Donc 2S=(n²+n)(1+2+3+...+n)
Donc 2S=n(n+1)[n(n+1)/2].
Donc S=n²(n+1)²/2².
Donc S=[n(n+1)/2]².==>(2)
De 1 et 2, il s'ensuit que 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]².
P.S: une methode tiré d'un livre paru en 1991 pour les S et E en première.

nmo a écrit:

hypermb a écrit:

Montrer que :
1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

Je vais répondre:
On écrit les naturels impairs successifs de la façon indiquée ci-dessous, la n-ième ligne comprends n naturels:
.
Trivialement, on remarque que la somme des naturels de la n-ième lignes est n^3.
On remarque aussi que le premier nombre de la n-ième ligne est n²-n+1.
On remarque aussi que le dernier nombre de la n-ième ligne est n²+n-1.
Maintenent au travail: Calculons la somme S:
On a S=1^3+2^3+...+n^3.==>(1)
Et d'autre manière:
On a S=1+3+5+...+n²+n-1.
Cette somme comporte 1+2+3+..+n nomes.
Et aussi S=n²+n-1+n²-n-1+...+3+1.
Donc 2S=n²+n-1+1+... . (ce terme se répète tel fois que le nombre de nomes)
Donc 2S=(n²+n)(1+2+3+...+n)
Donc 2S=n(n+1)[n(n+1)/2].
Donc S=n²(n+1)²/2².
Donc S=[n(n+1)/2]².==>(2)
De 1 et 2, il s'ensuit que 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]².
P.S: une methode tiré d'un livre paru en 1991 pour les S et E en première.

Bien. Elle semble au triangle de pascale.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

hypermb a écrit:

Montrer que :
1^3+2^3+......+n^3=( n(n+1)/2 )^2

Je vais répondre:
On écrit les naturels impairs successifs de la façon indiquée ci-dessous, la n-ième ligne comprends n naturels:
.
Trivialement, on remarque que la somme des naturels de la n-ième lignes est n^3.
On remarque aussi que le premier nombre de la n-ième ligne est n²-n+1.
On remarque aussi que le dernier nombre de la n-ième ligne est n²+n-1.
Maintenent au travail: Calculons la somme S:
On a S=1^3+2^3+...+n^3.==>(1)
Et d'autre manière:
On a S=1+3+5+...+n²+n-1.
Cette somme comporte 1+2+3+..+n nomes.
Et aussi S=n²+n-1+n²-n-1+...+3+1.
Donc 2S=n²+n-1+1+... . (ce terme se répète tel fois que le nombre de nomes)
Donc 2S=(n²+n)(1+2+3+...+n)
Donc 2S=n(n+1)[n(n+1)/2].
Donc S=n²(n+1)²/2².
Donc S=[n(n+1)/2]².==>(2)
De 1 et 2, il s'ensuit que 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]².
P.S: une methode tiré d'un livre paru en 1991 pour les S et E en première.

Bien. C'est le triangle de pascale non?

Le triangle de pascal est autre chose.