Oraux-ENS 2010

Voici les exos que j'ai eu aux ens
ENS ULM :
exo 1: Soient f,g deux fonctions sur IN* à valeurs complexes tq f(n)=somme des g(d) pour d|n (d divisant n)
exprimer g à l'aide de f.
Indication : introduire une loi interne et étudier son associativité et son neutre.
exo 2: IK = C , IR ou Q trouver pour chaque corps une cns sur n pour qu'il existe A de taille n*n tq A^2+2A+5I=0

ENS commun
exo 1 : On pose V(q)=1/sqrt(det(q)) pour q forme quadratique définie positive.
Mq log V est convexe.
exo2 : M matrice réelle et e >0. Mq il existe N réelle tq ||M-N||<e avec N de polynome caractéristique scindé à racines simples où ||.|| norme sur l'ensemble des matrices.


ENS LYON
exo : E ev normé de dim finie. A,B convexes disjoints de E tq A fermé et B compact.
Mq il existe une forme linéaire sur E et a réel tq pour tout x de A et y de B on ait f(x)<a<f(y)

ENS CACHAN
X solution de X'(t)=AX(t) et X(0)=X_0
Trouver une cns sur A pour que X soit bornée sur IR+

pour ULM 1.
la loi est (f*g)(n)= sum d|n f(d)g(n/d) .
le reste est quasi facile je vous laisse le faire.
le résultat est g(n)=sum d|n μ(d)f(n/d)=(μ*f)(n).
ou μ la fonction de Möbius.
pour ENS commun 1.
pour A et B deux matrices symétriques définies positives,il faut montrer que log(1/sqrt(det(tA+(1-t)B))=<t*log(1/sqrt(det(A))+(1-t)*log(1/sqrt(det(B)) pour tt t de [-1,1].
par le theoreme de la reduction simultané il existe P inversible et D=diag(a_1,...,a_n) diagonale tel que ,A= et B=(tP)DP ou (tP) la transposé de P.
donc l'inegalité devient 1/sqrt(t+(1-t)a_1)...(t+(1-t)a_n)=<t+(1-t)/sqrt(a_1...a_n) ce qui est facile a montrer par récurrence par exemple .
pour CACHAN il suffit de voir 2 ieme epreuve d'ens 2010 c'est quasiment la meme chose.
.............

juste une remarque .
pour l'exo ENS commun 1 il y'a une egalité que j vu ca fait longtemps qui peut servir vu qu'elle est a mon a vie +Hölder généralisé une bonne solution .
1/(sqrt(2Π))^n*int _IR^n exp(-<Ax,x>/2)dx=1/sqrt(det(A)). <.,.> le produit scalaire usuel .
a vous de voir .

pour ULM 2.
la CNS est n est paire pour R et Q.en effet:
A²+2A+5I=0=(A+I)²+4I => det((A+I))²=(-4)^n =>n est paire.
réciproquement :
n est paire alors la matrice A=diag(B,...,B) avec B la matrice de lignes (-1,2^n) et (2^n,-1) d'ou le resultat.
K=C c'est le cas trivial.
pour le CACHAN.clairement
la solution est stable <=> elle est bornée
on considere la forme quadratique Q_B(x)=txBx. avec B matrice
on suppose que sp(A) est dans (R_*),on considere la forme quadratique Q_B(x)=txBx avec B une matrice réelle.
on a l'equation donnée => Q'_B(X(t))=Q_(BA+tAB)(X(t))
soit B definie positive tel que BA+tAB soit definie negative.
on a sqrtQ_B et sqrt(Q_BA+tAB)sont des normes,donc par equivalence des norme en dom finie.il existe k tel que kQ_B(x)=<-Q_(BA+tAB)(x) pour tt x de R^n.
donc par une simple integration on a lim X(t)=0
réciproquement soit a une valeur propre de A tel que Ax=ax
on a alors d/dt(e^(at)x)=ae^(at)x=A(e^(at)x)
par unicité de la solution on a
X(t)=e^(at)x donc lim e^(at)x=0 => lim e^(at)=0
d'ou a<0
donc la CNS est SP(A) est strictement negatif.
je vais essayer de donner une autre solution car j'ai une autre idée.

C'est bon , sauf pour l'exo de cachan : prend A=0 alors X=X_0 (et il ya d'autres contres exemples ...) la cns est à raffiner.(pense à la décomposition de dunford qui simplifie le calcul exponentiel)

oui j déjà essayer ,mais j'ai séparé les cas :
le premier cas ou la matrice est diagonalisable et le deuxième nilpotente.ce qui est la même chose que Dunford , mais choisi cette méthode car qu'elle est plus belle...

Elle est plus belle ... c'est subjectif...
mais ce qui est sûr c'est qu'elle te laisse commettre l'erreur et trouver une cns pas valable...

ah wé !!
7tta daba ila ma3jbatkch n7ydha !!! pour l'exo ens commun 2.la densité des matrices diagonalisables suffit !

La densité des diagonalisables ; on l'a que pour les matrices complexes, si non les diagonalisables dans IR sont denses dans les trigonalisables dans IR (dans la démo de la densité on a besoin au bout d'un certain temps d'une trigonalisation...)
Et la matrice avec laquelle on approche dans l'exercice doit avoir un polynome caractéristique scindé à racines simples : c'est exactement l'intérieur des matrices diagonalisables...
Donc je pense pas que c'est immédiat...

callo t marocain ou tunisien?

maybachhh a écrit:

callo t marocain ou tunisien?

BJR maybachhh !!

Et Pourquoi cette Question ??
Les Tunisiens sont-ils plus Intelligents que Nous autres ???

En fait , callo est un Marocain << Pure Laine >> !!
Tbark Allah 3alik a callo

Amicalement . LHASSANE

PS : Ne Vous Vexez pas Mr houssa !! C'est Tout à fait Amical .....

Merci Mr LHASSANE, Allah ibarek fik !
en effet, je suis MAROCAIN, exactement comme mr LHASSANE l'a affirmé !

callo a écrit:

La densité des diagonalisables ; on l'a que pour les matrices complexes, si non les diagonalisables dans IR sont denses dans les trigonalisables dans IR (dans la démo de la densité on a besoin au bout d'un certain temps d'une trigonalisation...)
Et la matrice avec laquelle on approche dans l'exercice doit avoir un polynome caractéristique scindé à racines simples : c'est exactement l'intérieur des matrices diagonalisables...
Donc je pense pas que c'est immédiat...

oui tt a fait,je ne suis pas aussi bete !!mais moi je parlais de la densité en C car ma methode commence avec la densité en C mais par un truc de séparation des parties imaginaires et réelles et ....autre choses .
mais j'ai tellement envie de voir les autres !!!

là c plus clair ... il faut remarquer la densité des matrices à polynome caractéristique scindé à racines simples ( dans C) dans les matrices complexes .

Je pense que l'énoncé est équivalant à l'adherence des matrices réelles à valeurs propres distinctes deux à deux contient les matrice réelles.
Or l'adhérence des matrices à valeurs propres deux à deux distinctes réelles est exactement l'adherence des matrices diagonalisables réelles ce qui induirait que ces dernieres sont denses dans les matrices réelles ce qui est faux.Il suffit de prendre une matrice non trigonalisable réelle.