X 2010

A matrice
Etudier les valeurs propres de A tilde ( t com(A)) en fonction de celles de A

indication étudier le rang et utiliser la relation (si l'on note B=t com(A) ie A tilde) AB=BA=detA*I:
si A inversible ( de rang n la taille de A) B=inverse de A et sp(B)=1/sp(A)
si A de rang plus petit que n-2, B=0 (les mineurs sont nuls)
le cas à étudier est A de rang n-1 ...

salam,de retour !
les deux premiers cas sont triviaux.(sp(B)=det(A)/sp(A) ).
pour le dernier cas .rgA=n-1
alors rgcom(A)=1 car Im(com(A))=ker(A)
donc comA admet 0 comme valeur propre de multiplicité n-1.
et l'autre valeur propre est tr(com(A)).
pour une matrice inversible A de valeurs propres t_1,...,t_n
tr(comA)=det(A)(1/t_1+...+1/t_n)=s_(n-1)(A)=-(-1)^na_1 avec a_1 le coefficient de x dans le polynome caractéristique de A.
par densité de GL_n(C) dans M_n(C) et continuite de A-->tr(comA) cette relation est valable pour A de rang n-1.
donc la valeur propre cherchée est -(-1)^na_1.
d'ou SP(A)={0,-(-1)^na_1}.

autre methode : elle decoule du fait que si deux matrices sont semblebles alors elles ont la meme comatrice.
donc si on trigonalise A et on calcule sa comatrice pour touver en fin que si t_1...,t_n prises par multiplicités alors (t_1...t_n/t_i )_i£[1,n] sont les valeurs propres de comA.
bon s7or.

c'est juste.

Salut ,

Quelqu'un peut m'expliquer svp ce passage , où plutôt un éclaircissement dans la démo de kalm:

tr(comA)=s_(n-1)(A)=-(-1)^na_1 avec a_1 le coefficient de x dans le polynome caractéristique de A.
par densité de GL_n(C) dans M_n(C) et continuite de A-->tr(comA) cette relation est valable pour A de rang n-1.

Merci

C'est bon j'ai compris , juste en avançant un peu dans le cours

Un éléve assez bien francais fait l'X un bon éléve fait Normale Sup .
Un assez bon eleve marocaine ne fait rien un trés bon éléve marocain fait l'X
A qui la faute ?