olympiade

A et B sont des nombres de IN :

A^2 - 4B^2=12

Trouvez A ET B :

C`est juste

Ma Solution:

* On commence par remarqué que (a,b) £ IN / a² - 4b² = 12 on aura a² toujours pair, 4b² l'ai aussi, or a² pair donc a est pair. Remarquant aussi que 4b² sont toutes les carrés parfaits pairs sur IN.
* Nous avons a² - 4b² = 12 <=> a² = 4(b²+3) donc a>=4 prenions le cas d'égalité a=4 et remplaçant le, ce qui donne le premier couple S1={(a,b)=(4,1)}.
* Supposons que a>4: 'a' est pair donc a² >= 36 et b² >= 9 et cherchons s'il existe un autre couple (a,b) en comparant a²,4b².
* a² et 4b² sont tous les deux pairs sur IN donc ils jouent le méme role à partir du carré 4 car a >= 4, alors on cherche des solutions pour l'equation a² - 4b² = 12 dans la liste des carré pairs: (4,16,36,64,100,144,196,256,...). Normalement on cherche dans la liste la différence entre deux carrés parfaits ayant le résultat 12, en remarque qu'il n'existe que 16-4 qui est égale à 12. D'ou S={(a,b)=(4,1)}.

Merçi.

on remarque que
a²-4b²=(a-2b)(a+2b)=12=6*2=12*1=4*3
donc on a a-2b=6 et a+2b=2 ou ..................................et ..................................................................................
finalement on trouve que a=4 et b=1

Si (a,b) £ IZ, ça serait trop jolie !

M.Marjani a écrit:

Si (a,b) £ IZ, ça serait trop jolie !

çCa serait exactement la même chose : travailler sur IN, et pour IZ-, poser a'=-a et b'=-b et c'est fini.

Bon j'ajoute un autre problème si vous voulez :
Trouver tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que:
a^3 -2b²=19

FOBOS a écrit:

A et B sont des nombres de IN :

A^2 - 4B^2=12

Trouvez A ET B :

soit a,b des solution de l'equation initial :

a²-4b²=12
(a-2b)(a+2b)=12
il est bien vu que : a+2b >= a-2b ==> (a-2b=1 et a+2b=12) ou (a-2b=2et a+2b=6) ou (a-2b=3 et a+2b=4)

le cas possible est celui de : (a-2b=2et a+2b=6) ==> (a=4 et b=1)

donc S={(4;1)}

M.Marjani a écrit:

Ma Solution:

* On commence par remarqué que (a,b) £ IN / a² - 4b² = 12 on aura a² toujours pair, 4b² l'ai aussi, or a² pair donc a est pair. Remarquant aussi que 4b² sont toutes les carrés parfaits pairs sur IN.
* Nous avons a² - 4b² = 12 <=> a² = 4(b²+3) donc a>=4 prenions le cas d'égalité a=4 et remplaçant le, ce qui donne le premier couple S1={(a,b)=(4,1)}.
* Supposons que a>4: 'a' est pair donc a² >= 36 et b² >= 9 et cherchons s'il existe un autre couple (a,b) en comparant a²,4b².
* a² et 4b² sont tous les deux pairs sur IN donc ils jouent le méme role à partir du carré 4 car a >= 4, alors on cherche des solutions pour l'equation a² - 4b² = 12 dans la liste des carré pairs: (4,16,36,64,100,144,196,256,...). Normalement on cherche dans la liste la différence entre deux carrés parfaits ayant le résultat 12, en remarque qu'il n'existe que 16-4 qui est égale à 12. D'ou S={(a,b)=(4,1)}.

Merçi.

En ce qui concerne ce qui est en rouge:
pour ce qui est de l'encadrement de a, c'est une erreur d'inattention je suppose.
Par contre pour ta "remarque" , tu peux écrire juste cette phrase et il n'y a plus rien d'autre à faire. Parce que c'est en fait le but de l'exercice.

Ce que tu as fait : on a les données , on remarque le résultat. Tu le fais souvent d'ailleurs.

Math=life a écrit:

Bon j'ajoute un autre problème si vous voulez :
Trouver tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que:
a^3 -2b²=19

je viens de jeter un coup d'oeil sur cet exercice
on peut remarquer que a=3 et b=2 sont des solutions pour cette équation
en posant x=a^3 y=b² on obtient x-2y=19 (*)
on a cette solution précédemment mentionnée 27-2(4)=19
en faisant la soustraction on obtient (x-27)-2(y+2)=0 <=> (x-27)=2(y+2) alors 2 divise (x-27)
alors il existe un k de N tel que x=27+2k
en remplaçant dans (*) on obtient 27+2k-2y=19 <=> y=k+4
d'ou b²=k+4 et a^3=27+2k
.
.
.
à vous de jouer maintenant (pk je me bloque là hhh )

voila ma solution pour (a^3 -2b²=19)
on suppose que 2b^2=x^3 et que x et un nombre entière
donc on a a^3 -x^3=19 donc (a-x)(a^2+ax+b^2)=19

et on a 19=1*19 parce que c'est un chifre piremaire

et on a^2+ax+x^2>a-x donc a-x=1 alors a^2+ax+x^2=19

et on (a-x)^2=a^2-2ax+b^2=1 donc a^2+b^2=1-2ax

alors 1-3ax=19 don 3ax =18 ^============ax=6
on 2b^2=x^3
alors si a=6 .x=1 donc x^3=1 =======b £R-N
si a=3 .x=2 et x^3=8 ==== b=2
si a=2 . x=3 et x^3=21 ====b £R-N
si a=1 .x=6 et x^3=216==== b b £R-N

donc la solution de cette equation c'est (a=3 .b=2)

A+

desolé j'ai fait un petit faute si a=2 . x=3 et x^3=21 x^3 c'est pas 21 c'est 27

houssam16 a écrit:

voila ma solution pour (a^3 -2b²=19)
on suppose que 2b^2=x^3 et que x et un nombre entière
donc on a a^3 -x^3=19 donc (a-x)(a^2+ax+b^2)=19

et on a 19=1*19 parce que c'est un chifre piremaire

et on a^2+ax+x^2>a-x donc a-x=1 alors a^2+ax+x^2=19

et on (a-x)^2=a^2-2ax+b^2=1 donc a^2+b^2=1-2ax

alors 1-3ax=19 don 3ax =18 ^============ax=6
on 2b^2=x^3
alors si a=6 .x=1 donc x^3=1 =======b £R-N
si a=3 .x=2 et x^3=8 ==== b=2
si a=2 . x=3 et x^3=21 ====b £R-N
si a=1 .x=6 et x^3=216==== b b £R-N

donc la solution de cette equation c'est (a=3 .b=2)

A+

Bonsoir houssam
Votre démarche est bonne , cependant j'ai un petit doute à propos de ce qui est en rouge
qui te garantie l'existence de ce x ?

cette phase n'a aucun importance car on a la liberté de choisir les relation mais a la fin il faut le demontrer de l'existence et moi je dit (on suppose que et pas on pose)

houssam16 a écrit:

cette phase n'a aucun importance car on a la liberté de choisir les relation mais a la fin il faut le demontrer de l'existence et moi je dit (on suppose que et pas on pose)

sache houssam que je n'ai absolument rien contre toi !
pour l'exercice , oui t'as la liberté de supposer, MAIS à quelques conditions
t'as supposé qu'il existe un entier x tel que 2b^2=x^3 celà veut dire que 2b² est un cube nn ?
Amicalement

tout simplement 2b^2=x^3============2b^2 c'est un cube

houssam16 a écrit:

tout simplement 2b^2=x^3============2b^2 c'est un cube

laisse tomber tu m'as pas compris

Othmaann a écrit:

M.Marjani a écrit:

Ma Solution:

* On commence par remarqué que (a,b) £ IN / a² - 4b² = 12 on aura a² toujours pair, 4b² l'ai aussi, or a² pair donc a est pair. Remarquant aussi que 4b² sont toutes les carrés parfaits pairs sur IN.
* Nous avons a² - 4b² = 12 <=> a² = 4(b²+3) donc a>=4 prenions le cas d'égalité a=4 et remplaçant le, ce qui donne le premier couple S1={(a,b)=(4,1)}.
* Supposons que a>4: 'a' est pair donc a² >= 36 et b² >= 9 et cherchons s'il existe un autre couple (a,b) en comparant a²,4b².
* a² et 4b² sont tous les deux pairs sur IN donc ils jouent le méme role à partir du carré 4 car a >= 4, alors on cherche des solutions pour l'equation a² - 4b² = 12 dans la liste des carré pairs: (4,16,36,64,100,144,196,256,...). Normalement on cherche dans la liste la différence entre deux carrés parfaits ayant le résultat 12, en remarque qu'il n'existe que 16-4 qui est égale à 12. D'ou S={(a,b)=(4,1)}.

Merçi.

En ce qui concerne ce qui est en rouge:
pour ce qui est de l'encadrement de a, c'est une erreur d'inattention je suppose.
Par contre pour ta "remarque" , tu peux écrire juste cette phrase et il n'y a plus rien d'autre à faire. Parce que c'est en fait le but de l'exercice.

Ce que tu as fait : on a les données , on remarque le résultat. Tu le fais souvent d'ailleurs.

Non Monsieur Othman, a > 4 <=> a >= 5, or a est pair, donc automatiquement a>=6 <=> a²>=36 ^^

Pour la deuxiéme remarque: (4,16,36,64,100,144,196,256,...).

On remarque que si on s'éloigne de 16 on aura toujours la différence entre chaque deux carré parfaits > 12

Preuve:

(a+1)²-a² = 2a+1 ! puisque a > 4 donc (a+1)² - a² > 9
(a+2)² - (a+1)² = 2a+3 > 11
(a+3)² - (a+2)² = 2a+5 > 13 !!!

Le but de ma methode, juste pour savoir qu'elle efficase pour d'autres exos.

@houssam: en faisant ca, tu n'a fé que résoudre un cas particulier du problème, c'est dans lequel 2b² est un cube

Math=life a écrit:

@houssam: en faisant ca, tu n'a fé que résoudre un cas particulier du problème, c'est dans lequel 2b² est un cube

c'est ce que j'essayais de lui expliquer

[quote=M.Marjani]Non Monsieur Othman, a > 4 <=> a >= 5, or a est pair, donc automatiquement a>=6 <=> a²>=36 ^^
[/quote]
Tu as raison.

En suite la démonstration que tu viens de soumettre est correcte et convaincante , tu devrais le faire dès le début...

tarask a écrit:

Math=life a écrit:

@houssam: en faisant ca, tu n'a fé que résoudre un cas particulier du problème, c'est dans lequel 2b² est un cube

c'est ce que j'essayais de lui expliquer

UN AUTRE CAS ON VAS SUPPOSER QUE 2b^2 pas un cube et on vas démonter que l'équation n'accepte pas des solutions

ok allez y