Eq.f

Trouver toutes les fonctions f:R-->R (pour tous réels x, y) satisfaisant l'eq.f : f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 .
Bonne chance

Spoiler:

salam
marjani

x= f(y) ----------------> f(0) = f(x)+x²+f(x)-1 ---------> f(x) = [f(0)+1-x²]/2
x=0 ------------> f(o)=[f(0)+1-0]/2 ---------> f(0)=1

donc f(x) = 1 - x²/2

MAIS ......est ce que tout x peut être f(y) ?????

..................

Oui Mr Houssam, car:

P(x,f(y)) ==> f(x-f(y))=f(f(y))+x*f(y)+f(x)-1

Tu peux donc mettre f(y)=x

tarask a écrit:

Trouver toutes les fonctions f:R-->R (pour tous réels x, y) satisfaisant l'eq.f : f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 .
Bonne chance

Bonne idée, houssa, mais f(x) ne peut être surjective (sinon on aurait effectivement f(x)=a-x^2/2 qui n'est pas surjective)
L'idée est de travailler sur f(x)-f(y) :

Soit P(x,y) l'assertion f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1

1) tout réel u peut être obtenu comme différence u=f(a)-f(b)
f(x) ne peut être identiquement nulle et soit a tel que f(a) soit différent de 0. Alors :

P((u+1-f(f(a)))/f(a),a) ==> f((u+1-f(f(a)))/f(a)-f(a))-f((u+1-f(f(a)))/f(a))=u
CQFD

2) f(x)=a-x^2
P(f(x),x) ==> 2f(f(x))=-f(x)^2+(f(0)+1)
P(f(y),y) ==> 2f(f(y))=-f(y)^2+(f(0)+1)
P(f(x),y) ==> 2f(f(x)-f(y))=2f(f(x))+2f(x)f(y)+2f(f(y))-2

En additionnant ces trois lignes on obtient 2f(f(x)-f(y))=-f(x)^2+2f(x)f(y)-f(y)^2+2f(0)

et donc f(f(x)-f(y))=f(0)-(f(x)-f(y))^2/2

Et comme tout réel peut être mis sous la forme f(a)-f(b), on a f(x)=f(0)-x^2/2

En reportant cela dans l'équation initiale, on trouve f(0)=1

et donc la seule solution f(x)=1-x^2/2

M.Marjani a écrit:

Oui Mr Houssam, car:

P(x,f(y)) ==> f(x-f(y))=f(f(y))+x*f(y)+f(x)-1

Tu peux donc mettre f(y)=x

Malheureusement non.

salam

marjani et pco

vous n'avez pas compris ce que j'ai dit

je n'ai pas proposé une solution

j'ai juste remarqué que l'idée de marjani nécessite :

tout x s'écrit f(y) --------------> la surjection de f

ce qui n'est pas sûr.

Et comme l'a remarqué pco : malheureusement la solution n'est pas sujective

--------------------------------

Mon idée :

poser f(0) = a

1) si f(0) = 0 , alors

f(x)= f(x) -1 impossible

donc a =/= 0

2) f(x-a) = f(a) +ax +f(x) -1

b= f(a) -1

===> f(x-a)- f(x) = ax + b et continuer .......

( je n'ai pas encore essayé )

----------------------------

la remarque de pco est fausse : tout u = f(a)-f(b)

f(x) = sin x et u = 3 ??????

..........................................................

.

houssa a écrit:

salam

marjani et pco

vous n'avez pas compris ce que j'ai dit

je n'ai pas proposé une solution

j'ai juste remarqué que l'idée de marjani nécessite :

tout x s'écrit f(y) --------------> la surjection de f

ce qui n'est pas sûr.

Et comme l'a remarqué pco : malheureusement la solution n'est pas sujective

--------------------------------

Mon idée :

poser f(0) = a

1) si f(0) = 0 , alors

f(x)= f(x) -1 impossible

donc a =/= 0

2) f(x-a) = f(a) +ax +f(x) -1

b= f(a) -1

===> f(x-a)- f(x) = ax + b et continuer .......

( je n'ai pas encore essayé )

----------------------------

la remarque de pco est fausse : tout u = f(a)-f(b)

f(x) = sin x et u = 3 ??????

..........................................................

.

Bonsoir Mr Houssam, Mr pco

P(x,f(y)) ==> f(x-f(y))=f(f(y))+x*f(y)+f(x)-1

f(y) n'a aucune relation avec la surjection, et aucune relation avec y.

Ca veut dire f(y) est un varibale qu'on peut le remplaçer avec "m" par exemple.

Pourquoi? : Car il n'existe pas de y dans l'equation fonctionelle.

On fait le changement: P(x,m) ==> f(x-m)=f(m)+x*m+f(x)-1

De mon avis, dans ce cas, si nous pouvons pas supposer x=m ALORS on a changé les lois des maths......

Merçi ^^

houssa a écrit:

la remarque de pco est fausse : tout u = f(a)-f(b)

f(x) = sin x et u = 3 ??????

Euhhhh, j'ai écrit que tout u peut se mettre sous la forme f(a)-f(b) dans le cas où f est solution de l'équation fonctionnelle demandée, pas pour n'importe quel f(x)

Et j'ai démontré cela dans les deux premières lignes de ma démonstration.
Relisez là attentivement.

M.Marjani a écrit:

De mon avis, dans ce cas, si nous pouvons pas supposer x=m ALORS on a changé les lois des maths......

Bon, soit la fonction f(x)=1-x^2/2

Elle est solution de l'équation fonctionnelle.

Quel est alors, s'il vous plaît, le y tel que f(y)=2 ?

pco a écrit:

M.Marjani a écrit:

De mon avis, dans ce cas, si nous pouvons pas supposer x=m ALORS on a changé les lois des maths......

Bon, soit la fonction f(x)=1-x^2/2

Elle est solution de l'équation fonctionnelle.

Quel est alors, s'il vous plaît, le y tel que f(y)=2 ?

J'ai dis qu'il n'existe pas de y dans l'EF, f(y) est indépendante de y.. Si t'as remarqué cette f(y) dans l'EF n'a aucun sens ! Une fois m=f(y) donc on peut choisir les valeurs de m, automatiquement ils seront traduites par f..

Donc pourquoi nous ne pouvont pas supposer que m=x Puisque m est un variable?
Je suis avec toi si t'as dis qu'on peut pas fixer m, car elle est une fonction. Du méme temps c'est une variable car elle est indépendante de y dans l'EF.

J'espére que quelqu'un comprend moi : )

pour marjani

le passage de f(y) à m donne P(x,m)

mais dans ce cas m n'est plus une variable quelconque , tu ne peux pas dire ensuite pour x=m....

on revient donc au problème de la surjection ...

M.Marjani a écrit:

J'espére que quelqu'un comprend moi : )

J'espère aussi.
Pas moi en tous cas.

Bon courage.

houssa a écrit:

pour marjani

le passage de f(y) à m donne P(x,m)

mais dans ce cas m n'est plus une variable quelconque , tu ne peux pas dire ensuite pour x=m....

on revient donc au problème de la surjection ...

Je suis d'accord que m n'est pas un variable quelconque.

Mais f est définie de IR ---> IR, donc chaque réel a son image. Pour moi f(y) est un "semi-variable", car il change selon le réel y , ce changement se fait automatiquement par f , car f(y) est indépendante de y dans l'equation fonctionelle. Donc on peut le remplacer, sans changé la valeur x.

Comme j'ai dis, il y aurait un seul probléme, c'est çelui de fixer m sur un réel, qui est fausse (c'est pourquoi j'ai dis m est un "semi-varlable"). Nous n'avons pas utiliser cette derniére, normalement çelà faut-étre juste.

C'est ma point de vue, et desolé si j'étais curieux un peu.

Mes respects Mr Houssam, PCO.

Une question pour M.Marjani :
Si f est une fonction définie de IR ---> IR. Alors f(R)=R ?

Bon c'est ma derniére réponse, car je n'aime pas spammé aux sujets des autres, en méme temps je hate ne pas répondre les autres (...)

Othmaann a écrit:

Une question pour M.Marjani :
Si f est une fonction définie de IR ---> IR. Alors f(R)=R ?

Bonsoir Othman : )
Tu veux dire par: f(IR)=IR : f(x)=x / x£IR ? : Non pas du tout.

Quand on dit f: IR ---> IR ca veut dire que chaque réel à au moin une image par f

Sauf error والله أعلم


Bonne chance à tous.

M.Marjani a écrit:

Quand on dit f: IR ---> IR ca veut dire que chaque réel à au moin une image par f

Oula...

Nn Marjani désolé de vous contredire MAIS "par une fonction, une même image peut avoir plusieurs antécédents. Par contre, chaque antécédent n’a qu’une seule image" voir wikipédia pour plus d'informations

-_-''

Je n'ai pas dis le contraire.

f(y) a une image par f, donc celà n'est pas contradictoire à l'idée que j'ai presenté.

Si f: IR ---> IR - {c} . Dans ce cas non.

A+

M.Marjani a écrit:

Bon c'est ma derniére réponse, car je n'aime pas spammé aux sujets des autres, en méme temps je hate ne pas répondre les autres (...)

Othmaann a écrit:

Une question pour M.Marjani :
Si f est une fonction définie de IR ---> IR. Alors f(R)=R ?

Bonsoir Othman : )
Tu veux dire par: f(IR)=IR : f(x)=x / x£IR ? : Non pas du tout.

Quand on dit f: IR ---> IR ca veut dire que chaque réel à au moin une image par f

Sauf error والله أعلم


Bonne chance à tous.

en êtes-vous sur ?

tarask a écrit:

en êtes-vous sur ?

POURQUOI CES DISCUSSION POUR RIEN????????????

VA JOUER TETRIS C EST BON POUR TOI. AMICALEMENT.

Othman24 a écrit:

tarask a écrit:

en êtes-vous sur ?

POURQUOI CES DISCUSSION POUR RIEN????????????

VA JOUER TETRIS C EST BON POUR TOI. AMICALEMENT.

Bonsoir tout le monde , bonsoir Othman !
Je crois pas qu'il s'agit de quelque chose d'amical, mais bon on peut toujours s'attendre à de telles réponses de quelqu'un comme toi , d'ailleurs toutes tes participations dans ce forum ne sont pas à la hauteur
La prochaine fois , tache d'apporter quelque chose d'important plutôt que d'insulter les autres !
Et j'aurai aimé une solution pour cette équation fonctionnelle qu'un "Amicalement" mal placé
D'ailleurs j'ai parlé à Marjani par MP et il m'a dit qu'il a fait une petite faute celle d'ajouter "au moins" .

P.S: La prochaine fois , si tu te sens pas capable de résoudre un exercice contente-toi de regarder la solution des autres

Et c'est pas du tout amical de ma part !

Et pour M.Marjani , pco , Othmaann et M.houssa veuillez accepter mes excuses parce que je sais que ce message nuit à la clarté de l'exercice

M.Marjani a écrit:

Bon c'est ma derniére réponse, car je n'aime pas spammé aux sujets des autres, en méme temps je hate ne pas répondre les autres (...)

Othmaann a écrit:

Une question pour M.Marjani :
Si f est une fonction définie de IR ---> IR. Alors f(R)=R ?

Bonsoir Othman : )
Tu veux dire par: f(IR)=IR : f(x)=x / x£IR ? : Non pas du tout.

Quand on dit f: IR ---> IR ca veut dire que chaque réel à au moin une image par f

Sauf error والله أعلم


Bonne chance à tous.

Je me permets de corriger, c'est au plus, et non pas au moins.

oussama1305 a écrit:

Je me permets de corriger, c'est au plus, et non pas au moins.

Oui dans ce cas.

Mais il fallait lire l'idée que je viens d'émetter cher Oussama, sinon vous ne pouvez pas comprendre pourquoi au moins

Si tu peux dire Oussama au plus dans le cas ou f: IR ---> IR - {0} .

C'est pourquoi j'ai dis au moins ce mot mal placé dans le dernier poste, une petite faute sans aurgumente. ^^

Aprés mon message, j'espére voir une solution pour l'exercise, ou quelque chose qui a relation avec la solution de l'exercise, et d'oublier les critiques.. Celà n'attire que du (...)

Bonne chançe à tous dans la résolution.

M.Marjani a écrit:

Aprés mon message, j'espére voir une solution pour l'exercise, ou quelque chose qui a relation avec la solution de l'exercise, et d'oublier les critiques.. Celà n'attire que du (...)

Bonne chançe à tous dans la résolution.

Euhhh, pour ceux qui suivent : j'ai donné une solution dès le cinquième post de ce thread psychédélique