carré parfait ...

donner toutes les valeurs de n pour lequel : 8n²+1 est un carré parfait ...

Je propose à toi çelà:

8n²+1=(2k+1)² <=> 2n²=k(k+1)

2n²=k(k+1) <=> (2n)²=2k(k+1). (2n)² Sont toutes les carrés parfaits pairs.

Cette relation est juste si et si que k=0 ou k=1 ou k=-1 .

M.Marjani a écrit:

(2n)² Sont toutes les carrés parfaits pairs.

il faut trouver tous les n tel qu'il existe k : (2n)²=2k(k+1) ...

M.Marjani a écrit:

Cette relation est juste si et si que k=0 ou k=1 ou k=-1 .

c'est pas seulement ça .. il existe d'autres, exemple : k=8 donc n=6 ...

Oui, il existe d'autres.

Spoiler:

pour le moment je me demande est-ce qu'il y a une infinité des valeurs de n pour lequel 8n²+1 est un carré parfait ....

hypermb a écrit:

pour le moment je me demande est-ce qu'il y a une infinité des valeurs de n pour lequel 8n²+1 est un carré parfait ....

oui il en existe une infinite !
8n²+1-a²=0 considerons la comme une equation de second degre en n , on delta=32(a²-1) qui doit etre egal a un carre parfait 32(a²-1)=b² equivaut a²-1=2b² si l on remplace b par 8b (on a l droit)
en effet , 2n²+1=a² est une equation de Pell Fermat , et le theoreme de Pell Fermat permet de construire les solutions (Xn,Yn) apartir d une solution dite fondamentale (X0,Y0) tq X0²-racine(2)Y0² est minimale .
et Xn+racine(2)Yn=(X0+racine(2)Y0)^n
il suffit donc de determiner X0 et Y0 .
les solutions de notre equation initiale sont en fonction de Xn et Yn ac une contrainte (reglable) de pairite de delta.
je m excuse pour cette redaction trop resumee , j essairai de reecrir le tout

Bonjour ;

Comme l'a remarqué memath le problème est équivalent à montrer qu'il y'a une infinité de couples (a,b) d'entiers tels que |a²-2b²|=1

or si deux couples (a,b) et (c,d) vérifient la condition rouge il en est du même pour le couple (a,b)(c,d)=(ac+2bd , ad+bc)

ainsi à partir du couple solution (1,1) par exemple on obtient par puissances successives :

(1,1)²=(3,2) ce qui donne n=2.3=6 soit 8n²+1=17²
(1,1)^3=(1,1)(3,2)=(7,5) ce qui donne n=7.5=35 soit 8n²+1=99²
(1,1)^4=(1,1)(7,5)=(17,12) ce qui donne n=17.12=204 soit 8n²+1=577²
.
.
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sauf erreur bien entendu

merci vs n'avez pas un lien pour un bon cours d'arithmétiques par hasard ?

Salut, elhor_abdelali ;

la méthode que vous avez présenté est celle de chakravala .. est-ce qu'elle garantie de donner toutes les solutions de l'équation : est-ce que (1,1)^n donnera tous les solutions sans rater qq unes ? g essayé pr les premiers nombres et ça marche ..

BJR à Vous Toutes et Tous !!

En fait le travail de A.Elhor se fait dans l'anneau Z[rac(2)]
et le problème est bien de rechercher les éléments inversibles dans cet anneau ....

Pour les Prépas , c'est bon à savoir ....

Amicalement . Saha Ftourkoum !!

LHASSANE

hypermb a écrit:

Salut, elhor_abdelali ;

la méthode que vous avez présenté est celle de chakravala .. est-ce qu'elle garantie de donner toutes les solutions de l'équation : est-ce que (1,1)^n donnera tous les solutions sans rater qq unes ? g essayé pr les premiers nombres et ça marche ..

slt , comme je l ai deja signale , la solution minimale decrite dessus dans mon post precedent garantie de trouver toutes les solutions possibles

hypermb a écrit:

Salut, elhor_abdelali ;

la méthode que vous avez présenté est celle de chakravala .. est-ce qu'elle garantie de donner toutes les solutions de l'équation : est-ce que (1,1)^n donnera tous les solutions sans rater qq unes ? g essayé pr les premiers nombres et ça marche ..

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;

Comme l'a remarqué memath le problème est équivalent à montrer qu'il y'a une infinité de couples (a,b) d'entiers tels que |a²-2b²|=1

or si deux couples (a,b) et (c,d) vérifient la condition rouge il en est du même pour le couple (a,b)(c,d)=(ac+2bd , ad+bc)

ainsi à partir du couple solution (1,1) par exemple on obtient par puissances successives :

(1,1)²=(3,2) ce qui donne n=2.3=6 soit 8n²+1=17²
(1,1)^3=(1,1)(3,2)=(7,5) ce qui donne n=7.5=35 soit 8n²+1=99²
(1,1)^4=(1,1)(7,5)=(17,12) ce qui donne n=17.12=204 soit 8n²+1=577²
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sauf erreur bien entendu

Si , la méthode d'abdelali peut nous garantir qu'il y a une infinité de solutions ,

il faut juste supposer qu'il existe une valeur maximale pour A ou pour B tel (A,B) est un couple solution ;

(A^2+2B^2, 2AB ) est aussi une solution > (A,B) ==> absurde .