préparation olympiade 2

je vous propose cette inégalité, elle n est pas évidente du tout, elle demande une vraie maitrise des astuces d olympiades , je vous souhaite bonne chance :

soient a1 , a2 ,...,an des réels positifs tels que a1a2...an=1
montrer que :
1/(n-1+a1) +1/(n-1+a2)+...+1/(n-1+an) <=1

cosiderer la fonction:f(y)=1/(1+e^x) qui est covexe dans l'intervale :(ln(k),+infini) puis x_i = ln(a_i) et x_1 +x_2 +...+x_n = 0
et k = n -1 et k_0 = ln(n-1) on supposons que x_1>=....x_m>=k_0>=x_(m+1)>=....a_n pour un certain m, f(x_1) + ... + f(x_m) ·<=(m - 1)f(k_0) + f(x_1 + ... + y_m -(m - 1)k_0) et aussi (m - 1)f(k_0) + f(x_m+1) + ... + f(x_n) ·<= (n - 1)f ((m - 1)k0 + ym+1 + ... + x_n)/(n-1))
et enfin le fait que:k/(k+x)+1/(k+1/(x^k))<=1 on utilisant l'inegalté de berlouly .

bernouly ,pas berlouly

c mal rédiger j arrive pas a suivre ta démarche , est ce que tu px la refaire proprement ?

il s'agit de considerer la fonction :

Code:

f(x)=\frac{1}{1+e^x}

c pas juste ce que t a écrit ...ridige le proprement prq la , c est illisible .

on va utiliser la recurence mais est ce ke a1a2a3....an=1 va devenir a1a2a3...anan+1=1??