l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est connexe

Soit E un espace normé compact,soit Un une suite tel quel
la distance entre deux termes consécutifs tend vers zero
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est connexe.

J'ai pensé à utiliser la caractérisation des valeur d'adhérence d'une suite par l'intersection des adhérences.
Ensuite,j'ai essayé de procéder par absurde en supposant que l'ensemble peut se mettre comme réunion de deux fermés disjoints.Je n'ai pas réussis encore à trouver une contradiction.
Je ne vois comment on va utiliser le fait que la distance entre deux termes consécutifs de la suite tend vers zero

aucune idée sur l'exercice?