Des Cycles .... En Hommage à boujmi3 !!

BJR boujmi3 !!

J'ai trouvé pour Toi quelques exos sur le Groupe Symétrique Sn , son sous-groupe Alterné An ...


Pour n >3 , on désigne par A'n le sous-groupe de Sn engendré par les (n-2) cycles :
(1;2;3) ; (1;2;4) ; .......... ; (1;2;n)

a) Montrer que A'n est un sous-groupe du groupe alterné AN.
b) Démontrer que (1;2)o(i;j) et (i;j)o(1;2) pour i et j distincts sont dans A'n.
c) En déduire que A'n=An.

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR boujmi3 !!

J'ai trouvé pour Toi quelques exos sur le Groupe Symétrique Sn , son sous-groupe Alterné An ...


Pour n >3 , on désigne par A'n le sous-groupe de Sn engendré par les (n-2) cycles :
(1;2;3) ; (1;2;4) ; .......... ; (1;2;n)

a) Montrer que A'n est un sous-groupe du groupe alterné AN.
b) Démontrer que (1;2)o(i;j) et (i;j)o(1;2) pour i et j distincts sont dans A'n.
c) En déduire que A'n=An.

Amicalement . LHASSANE

BSR

a) le fait que la signature d'une permutation est un morphisme surjectif de S_n vers {1,-1}
b) ona : (1,2)(i,j)= (1,2)(1,j)(1,i)(1,j)= (1,2,j)(1,i)(1,j) =(1,2,j) (1,i)(1,2) (1,2)(1,j) = (1,2,j) (1,2,i)^(-1) (1,2,j), du meme pour (i,j)(1,2)
c) ona: ((1,2)(a,b))^(-1) (1,2)(c,d) = (a,b)(c,d)£ A'n d'apres la question precédente, et comme chaque permutation paire s'ecrit sous produit paire de transpositions , on déduit que An C A'n et donc An=A'n , Merci pr l'exo ( sauf ereur de ma part )