exercice difficile

je veux la reponse d exercice 63( la logique) livre mofid.1 sc math

Tu parle de l'exo ou il faut montrer que


n'appartient pas à N
Tu procède par absurde , supposons que ça appartient à N
alor a^2-b^2/a^2+b^2

or a^2-b^2/a^2-b^2
donc a^2-b^2/2a^2 ... Je te laisse continuer les quelques lignes restantes !

Une autre idée consiste a travailler la congruence :



[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}-b^{2}\equiv%202a^{2}\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20] [/img]

la suite est là aussi simple

Bonsoir !
Svp pourriez vous postuler l'énoncé complet ?

Prouvez que (a^2+b^2) / (a^2-b^2) n'est pas un entier

Bonsoir tout le monde
C'est déjà posté https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-15.htm
j'ai avancé une idée à propos de cet exercice dans le même lien
Bonne découverte

il faut d'abord étudier 'l'arithmétique '.

D'accord , d'abord il est impératif que tu ai lu ton cour sur l'arithmétique ou du moins que tu ai
certaine notions de base :

faisons le par congruence :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}-b^{2}\equiv%202a^{2}\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20)[/img]

pourquoi parceque


bon je continu :
maintenant on dois prouver que 2a^2 ne divise pas a^2+b^2
supposons le contraire :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a^{2}\equiv%200\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20)[/img]

ceci veux dire que a^2+b^2=2ka^2
b^2=a^2(2k-1) or a^2 > b^2 ==>a^2(2k-1)>b^2
parceque k>0( k est un entier )
et ceci est absurde ^^
j'esper que c'est clair maintenant , si tu n'as pas encor étudié la congruence , regarde la preuve avec la divisibilité c'est presque la même ^^

Cela nécessite des méthode 'd'arithmétique'

Vous trouverez ma solution (du niveau collége) là bas dans ce lien ^^

https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-30.htm

Remarque: C'est trés évident que: m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré.

Mlle Betty a écrit:

A vrai dire darpsoeudo je n'ai pas d'idée sur LA CONGRUENCE ! et je n'ai pas encore étudié l'arithmétique ! je voudrai savoir si on pourra résoudre cet exo avec les simples règles étudiées dans 'la logique " ?????

La leçon de logique n'est qu'une leçon qui organise les choses avec les signes d'équivalence implication.... , les méthodes récurrence , absurde.... mais c'est à toi d'être créative ! Dans les exercices de logique, il faut faire appel à l'arithmétique, trigonométrie , inégalités .... donc , "les simples règles étudiées dans 'la logique" dont tu parles , c'est l'absurde qui est une clé de l'exercice mais qui nécessite autre chose
P.S:cet exercice a été discuté n fois lol en voilà d'autres topic le traitant :
https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/pour-les-1sm-t5831-15.htm
https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/prouver-que-ab-a-b-n-est-pas-un-entier-naturel-t4425.htm (très jolie réponse de M.Selfrespect )
Amicalement

aidkom mabrouk

un peu plus clair: on peut supposer a > b

si (a²-b²) divise (a²+b²)

alors a²-b² divise (a²+b²) et (a²-b²)

=====> a²-b² divise la somme : 2a² , et la différence :2b²

posons : d = pgcd(a,b)

a= d.a' et b= d.b' avec : a' et b' sans diviseurs communs ( premiers entre eux)

donc d²(a'²-b'²) divise 2d².a'² et 2d².b'²

===> a'²-b'² divise 2.a'² et 2 b'²

===> a'²-b'² ne peut être que 2 ou 1

===> (a'-b')(a'+b') = 2 ou 1

1) le cas 1 est impossible

2) il reste le cas : a'-b' = 1 et a'+b' = 2 ====> 2a' =3 impossible

conclusion : (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas entier

.............................

Voici une méthode plus ou moins facile :
Je suis élève du tronc commun et je me suis forçé à la résoudre :
Voilà :
supponsons que
(a²+b²)/(a²-b²)=n € IN
donc a²+b²=na²-nb²
a²(n-1)=b²(n+1)
donc a²/b²=(n+1)/(n-1)
Maintenant pour que cette équation soit vraie , n doit etre supérieure ou égale à 2.
donc n>2 => n-1>1 => 1/(n-1)<1 => 2/(n-1) < 2 => 1+2/(n-1) = (n+1)/(n-1) <3
donc a²/b² < 3 => a²<3b²
a²+b²<4b² (1)
a²-b²<2b²

donc (a²+b²)/(a²-b²) < 2

Si cette expression est un nombre entier donc il y a 3 cas soit n=0 soit n= 1 soit n=2

1er cas (n=0) :
donne a² = -b²
or a > b CONTRADICTION :
2eme cas (n=1):
donne a = 0 et quand on remplace a = 0 dans l'équation on trouve -1 = 1 CONTRADICTION
3eme cas ( n=2) :
a²/b² = 3
donc a/b = V3 € Q
donc le fait de dire que a et b sont des entiers est faux... CONTRADICTION !!


!

Cela dit, le fait de supposer que (a²+b²)/(a²-b²) soit un entier naturel est faux.

donc (a²+b²)/(a²-b²) n'appartient pas à IN .

Merci et au plaisir

salam Mehdi

un bon départ ......

mais à mis chemin tu déroutes

si a²+b² < 4b²
et a²-b² < 2b²

(a²+b²)/a²-b²) < 2 ???????????????????????????????????????????????????

voilà :
5 < 6
1 < 2

alors 5/1 < 6/2 ??????????

...................................................................

Bon je rectifie, voici une autre méthode :

on a a²/b² = 1+2/(n-1)
donc 1+2/(n-1) > 0
il s'ensuite que 2/(n-1) > -1 => 1/(n-1) > -1/2
donc n-1<-2 = > n<-1
il n'existe aucun nombre entier naturel inférieur à -1.

Donc la suppoition est fausse .

Donc (a²+b²)/(a²-b²) N'apparitent pas à IN.

salam MEHDI

Encore ?????

1/(n-1) > -1/2 =====> n-1 < -2 ???????

............................................................

Mehdi.O a écrit:

Bon je rectifie, voici une autre méthode :

on a a²/b² = 1+2/(n-1)
donc 1+2/(n-1) > 0
il s'ensuite que 2/(n-1) > -1 => 1/(n-1) > -1/2
donc n-1<-2 = > n<-1
il n'existe aucun nombre entier naturel inférieur à -1.

Donc la suppoition est fausse .

Donc (a²+b²)/(a²-b²) N'apparitent pas à IN.

C'est plutot n-1 > -2 comme l'a dit Mr Houssa.

Excusez moi je suis confus ...
De toute façon j'étais pas concentré sur l'exercice

Excusez moi je suis confus ...
De toute façon j'étais pas concentré sur l'exercice

et bien qqun a trouve la réponse ou je suis censée d'attendre lol

salam

chamitos007

la réponse ==============> voir message houssa un peu avant.

.........

merci voila ma solution :
on suppose que a²+b²/a²-b² appartient a N
alors
a²+b²/a²-b²=k k appartient a N
donc a²+b²=k(a²-b²)<=>a²-ka²=-b²-kb²<=>a²(1-k)=-b²(1+k)<=>a²=-b²(1+k)/1-k
on a a>b
alors a²>b²
<=>-b²(1+k)(1-k)>b²
<=>-1-k>1-k
<=>-1>1
ce qui est faux alors ce qu'on a supposé est faux alors a²+b²/a²-b² n'appartient pas a N
alors svp est ce que cette methode est juste?

salam

attention une erreur à la fin

-b²(1+k)/(1-k) > b²

<===> -1-k > 1-k ????????

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je pense que c'est juste car l'objectif de la demonstration est de montrer l absurdité or j ai oublié de noter les cas k=0;1

si k>1 alors on va faire ce qui est mensionner la haut mais pour k<1 ca veut dire k=0
alors -1-k>1
-k>2
k<-2
ce qui est faut car k appartient a N
sauf erreur