EqUaTiOn FoNcTiOnElLe

trouve toutes les fonctions de IR à IR
f(x^2+y^2)=f(x)+f(y^2)

ali-mes a écrit:

trouve toutes les fonctions de IR à IR
f(x^2+y^2)=f(x)+f(y^2)

Soit P(x,y) l'assertion f(x^2+y^2)=f(x)+f(y^2)

P(0,0) ==> f(0)=0
P(x,0) ==> f(x^2)=f(x)

Et donc f(x^2+y^2)=f(x^2)+f(y^2) et donc f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x,y >=0

Soit alors x,y>=0 :
f(x)+f(y)=f(x+y)=f((x+y)^2)=f(x^2+2xy+y^2)=f(x^2)+f(2xy)+f(y^2)=f(x)+f(y)+f(2xy)

Et donc f(2xy)=0 pour tout x,y >=0 et donc f(x)=0 pour tout x>=0

P(-x,0) ==> f(x^2)=f(-x) et donc f(x)=0 pour tout x<=0

D'où la seule solution à cette équation : f(x)=0 pour tout x (dont on vérifie aisément que c'est en effet une solution)

Dsl pour le retard d'une année :p alors on remplace x et y par 0 on obtien f(0) = 2 f(0)
donc f(0) =0 et là il y en a 2 cas soit f(a)= Xa soit f(a) =0
si on remplace le Xa dans l'EF on obtient X(x²+y²) Xx+ Xy²
en developpant on obtient x²=x ce qui n'est pas toujour sjuste donc le seul cas est f(a) =0

medamine. a écrit:

Dsl pour le retard d'une année :p alors on remplace x et y par 0 on obtien f(0) = 2 f(0)
donc f(0) =0 et là il y en a 2 cas soit f(a)= Xa soit f(a) =0
si on remplace le Xa dans l'EF on obtient X(x²+y²) Xx+ Xy²
en developpant on obtient x²=x ce qui n'est pas toujour sjuste donc le seul cas est f(a) =0

Je pense que ce qui est en rouge est faux

darkpseudo a écrit:

medamine. a écrit:

Dsl pour le retard d'une année :p alors on remplace x et y par 0 on obtien f(0) = 2 f(0)
donc f(0) =0 et là il y en a 2 cas soit f(a)= Xa soit f(a) =0
si on remplace le Xa dans l'EF on obtient X(x²+y²) Xx+ Xy²
en developpant on obtient x²=x ce qui n'est pas toujour sjuste donc le seul cas est f(a) =0

Je pense que ce qui est en rouge est faux

Pouvez vou sme donner un contre exemple ?Qui verifie f(a)=0 et f(a) ne peut pas s'ecrie sous forme de Xa. Merci d'avance

je comprend plus rien là , si f(a) = 0 c'est que f est la fonction nul ( on parle de a quelconque ) , je soutient que ce n'est pas à moi de donner un contre-exemple mais à toi de donner une preuve tangible de la véracité de ce que tu écris , mais bon voila un contre exemple : f(x)=x^2 on a bien f(0)=0 et f(1) différent de 0 et pourtant f n'est même pas une fonction affine , amicalement .

Ah voilà j'ai reconnu ma faute mais c'est pas d'après ce que tu as dit car on pourrait choisir le X comme on veut il pourra aussi être un a .Mais le problème se posera quand on va remplacer le f(a) il faut changer le X et comme ça nous allons pas comment prouver que c'est faut .Merci pour ta correction darkpseudo.

On a f(x²+y²)=f(x) + f(y²)
donc en remplaçant par (x,0) on trouve que f(x²)=f(x) + f(0)
en remplaçant par (0,y) on a f(0) = 0
et donc f(x²)=f(x)
d'ou f(x²+y²)=f(x²)+f(y²)
Cette équation est bien connue , les solutions sont les fonctions linéaires(Equation de Cauchy;cependant il faudrait rajouter des conditions sur f (par exemple f monotone ou continue ou f de Q vers R ); sans quoi il y'aurait une infinité de solution pr l'équation proposée).
donc f(x²+y²)=f(x)+f(y²) implique que ax²=ax
d'où x=0 ou x=1 .
Donc f(x)=a ou f(x)=0
// f(x)=a implique que a=2a (en remplaçant dans l'équation de l'exo)
ce qui implique que a=0 . C.à.d : que la fonction nulle est la seule solution a l'exercice