- ali-mes a écrit:
- soient a,b £ IR+* prouver qu'il existe une seule eq.foctionelle f:IR+===IR+ telle que pour tous réel x plus grand ou égal à 0 f(f(x))+af(x)=b(a+b)x
Bonjour,
Soit x>=0. Définissons la suite a_n telle que :
a_0=x
a_1=f(x)
a_{n+2}=-a.a_{n+1}+b(a+b)a_n
Les résolutions classiques des suites récurrentes linéaires permet de trouver :
a_n=((a+b)x+f(x))b^n/(a+2b) - (f(x)-bx)(-a-b)^n/(a+2b)
Si f(x) est différent de bx, on a a_n négatif pour n assez grand pair ou impair selon le signe de f(x)-bx
Mais a_n=f^n(x) et on a donc a_n>=0
Donc f(x)=bx, qui est bien une solution, et qui est donc la seule.
CQFD
PS : "équation fonctionnelle" est l'équation dont la solution est la fonction recherchée.
On dit donc "prouver qu'il existe une seule fonction f:IR+===IR+ telle que ..." et non "prouver qu'il existe une seule eq.foctionelle f:IR+===IR+ telle que ..."
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