exo de reccurence urgent svp

likoul n mine IN* nada3 "an" al3adad al moukawane mine "n" ra9m koulouha tousawi 7
(a1=7;a2=77;a3=777;a4=7777;...)
démontrez que :
quelquesoit n appartient à IN* ; "an" = 7/9[10 a la puissance n - 1 ]

salam

sans récurrence ( voir suites géométriques )

an = 7 + 70 + 700 + ......... + 7.10^(n-1)

an = 7.[1+10+10²+...........+10^(n-1)]

an = 7.[10^n - 1]/(10-1)

an = 7/9.[10^n - 1]

......................................................

Je pense qu'ils n'ont pas encore fait les suites , en tout cas voici la solution par récurrence:
a_1=7/9.[10-1]=7
Soit notre hypothèse de récurrence vrai.

pardonne mon ignorance mais d'ou vient le 7.10 ala puissance n de a_n+1 = ..

salam; yassine

prend le cas simple par exemple n=3 on a:

a_4=7777=777+7000=a_3 + 7.10^3

de meme pour

a_n+1 = a_n + 7.10^n

tanmirt

Merci infiniment à vous je vois bien que je dois aiguiser mon niveau en mathématiques !

Voici ma solution:

a_n = 777...7 (7 se répete n fois)
= 7*10^{n-1}+7*10^{n-2}+...+7*10^{n-n}
= 7 (10^0 + 10^1 + 10 ^2 + ... + 10^{n-1})

Donc il suffit d'utiliser la réccurence sur P(n): 10^0 + 10^1 + 10 ^2 + ... + 10^{n-1}=(10^{n}-1)/9
Pour n=n_i=1 , P(n)=P(1)=1 , ET (10^{n}-1)/9 = 1
On suppose que P(n) est juste, et on démontre qu'elle est aussi juste pour P(n+1):
On a P(n+1)=(10^{n+1}-1)/9 ,
ET P(n)+10^{n-1 +1}=(10^n -1)/9 + 10^n=(10^n+9*10^n -1)/9=(10*10^n-1)/9=(10^{n+1} -1)/9
D'ou P(n) est juste.

Au plaisir : )

salam,
m.marjani, une fois que tu as utilisé la suite géométrique est suffisamment suffit pour conclure. c'est a dire pas besoins de récurrence sur n.

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

salam,
m.marjani, une fois que tu as utilisé la suite géométrique est suffisamment suffit pour conclure. c'est a dire pas besoins de récurrence sur n.

tanmirt

Salam,

Mais comment vous allez savoir que: 10^0 + 10^1 + 10 ^2 + ... + 10^{n-1} = (10^{n}-1)/9 ?
Nous n'avons pas encore lu les suites (geométriques) donc on n'a pas le droit de l'utiliser dans les épreuves pour l'instant. Il faut essayer de préparer comment rédiger sa solution dans un épreuve de maths c'est pourquoi : )

ok comme tu veut, ya rien du mal, ta fait 1+7.10+...+7.10^n-1=(10^n - 1)//9 donc tu as utilisé la suite géométrique; donc ya rien a faire après