- ali-mes a écrit:
- aidez moi j'vs en prie !!! cui ' en niveau de TC et j'ai pa comprih cet exo
trouves toutes les polynomes P(x) (x−16)p(2x)=16(x−1)p(x) x est un nombre réel
plzzzz !!!
je sais que c n po une eq.fonc. mais je just veux klk1 ki peux m'expliquer !!!!! 
Bonjour,
L'équation est (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x)
L'astuce sur ce genre de question est de travailler sur les racines du polynôme et de vérifier qu'il ne peut y en avoir une infinité (sauf si c'est le polynôme nul).
Constatons d'abord que le seul polynôme constant qui vérifie l'équation est P(x)=0 pout tout x.
Si le polynôme n'est pas constant et qu'il est de degré n>0, il possède donc exactement n racines réelles ou complexes (en comptant autant de fois que nécessaire les racines multiples).
Soit donc z une de ces racines.
En faisant x=z dans (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x), on trouve (z-16)P(2z)=0
Donc, si z différent de 16 est racine, 2z est racine
Donc si z différent de 16/2^n (n entier naturel positif ou nul) est racine, on a une infinité de racines (2^pz pour tout p>=0) et le polynome est identiquement nul (seul le polynôme identiquement nul a une infinité de racine).
Les racines de P(x) ne peuvent donc être que 16/2^n avec n>=0
En faisant maintenant x=z/2 dans (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x), on trouve (z/2-1)P(z/2)=0
Donc, si z différent de 2 est racine, z/2 est racine
Donc si z différent de 2.2^n (n entier naturel positif ou nul) est racine, on a une infinité de racines (z/2^p pour tout p>=0) et le polynome est identiquement nul (seul le polynôme identiquement nul a une infinité de racine).
Les racines de P(x) ne peuvent donc être que 2.2^n avec n>=0
Les racines sont donc à la fois de la forme 16/2^p avec p>=0 et de la forme 2.2^q avec q>=0
Les racines ne peuvent donc être que 2,4,8,16.
Et donc P(x)=u(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d
L'équation devient alors
u(x-16)(2x-2)^a(2x-4)^b(2x-8 )^c(2x-16)^d=16u(x-1)(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d
Soit encore :
2^(a+b+c+d)u(x-1)^a(x-2)^b(x-4)^c(x-8 )^d(x-16)=16u(x-1)(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d
et donc une simple identification donne a=b=c=d=1
Et P(x)=u(x-2)(x-4)(x-8 )(x-16)
PS: C'est bien une équation fonctionnelle puisque c'est une équation dont l'inconnue est la fonction P(x).
Accueil 