Défi:

a, b, et c sont des entiers relatifs quelquonques:
Démontrez les résultats suivants:
1-.
2-.
3-.
Et pour le plat principal:
Démontrez que .
Que le régal commence.
Bonne chance.

On pose: (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)=-[(a-b)(a-c)(b-c)]²=k / k dans IZ\ IN.
1/ LHS=a(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)+b(a-b)(a-c)(c-a)(c-b)+c(a-b)(a-c)(b-c)(b-a) sur k
= (a-b)(a-c)(c-b)*[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)] sur k
=[(1/V(k))*0] sur k=0

2/ Le denominateur ne change pas, seulement a,b,c deviennent a²,b²,c²:
Alors LHS = (a-b)(a-c)(c-b)*[a²(c-b)-b²(a-c)+c²(a-b)] sur k
On sait que: a²(c-b)-b²(a-c)+c²(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)(b-c)(a-c)
D'ou: LHS = -V(-k)*(a-b)(a-c)(b-c) sur k
=> LHS = k/k = 1

3/ La méme chose, le denominateur ne change pas, a²,b²,c² deviennent a^3,b^3,c^3:
LHS=(a-b)(a-c)(c-b)*[a^3(c-b)-b^3(a-c)+c^3(a-b)] sur k
On sait que: a^3(c-b)-b^3(a-c)+c^3(a-b)=(a+b+c)(a-b)(b-a)(b-c)(c-b)(c-a)(a-c)
D'ou: LHS=-(a+b+c)[(a-b)(b-c)(a-c)]² sur k
=> LHS=a+b+c.

Et pour le plat principale:

LHS=-(a-b)(a-c)(c-b)*[a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]÷[(a-b)(a-c)(b-c)]² . (n£IN)
<=> LHS=-[a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]÷[(a-b)(a-c)(b-c)]
Donc il suffit de MQ: [a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]=-m*[(a-b)(a-c)(b-c)] . (m£IN)

Sauf ERrors.

Pour le cas où n=0.
Voici ce qu'il faut faire:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/hlep-t16687.htm.
Je vais lire ta solution M.Marjani plus tard.

M.Marjani a écrit:

On pose: (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)=-[(a-b)(a-c)(b-c)]²=k / k£IZ
1/ LHS=a(b-1)(b-a)(c-a)(c-b)+b(a-b)(a-c)(c-a)(c-b)+c(a-b)(a-c)(b-c)(b-a) sur k
Or : a(b-1)(b-a)(c-a)(c-b)+b(a-b)(a-c)(c-a)(c-b)+c(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)
= (a-b)(a-c)(c-b)*[a(c-b)-b(a-c)+c(a-b)]
=V(-k)*0=0
2/ Le dominateur ne change pas, seulement a,b,c deviennent a²,b²,c²:
Alors LHS = (a-b)(a-c)(c-b)*[a²(c-b)-b²(a-c)+c²(a-b)] sur k
On sait que: a²(c-b)-b²(a-c)+c²(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)(b-c)(a-c)
D'ou: LHS = -V(-k)*(a-b)(a-c)(b-c) sur k
=> LHS = k/k = 1
3/ La méme chose, le doniminateur ne change pas, a²,b²,c² deviennent a^3,b^3,c^3:
LHS=(a-b)(a-c)(c-b)*[a^3(c-b)-b^3(a-c)+c^3(a-b)] sur k
On sait que: a^3(c-b)-b^3(a-c)+c^3(a-b)=(a+b+c)(a-b)(b-a)(b-c)(c-b)(c-a)(a-c)
D'ou: LHS=-(a+b+c)[(a-b)(b-c)(a-c)]² sur k
=> LHS=a+b+c.
Et pour le plat principale:
LHS=-(a-b)(a-c)(c-b)*[a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]÷[(a-b)(a-c)(b-c)]² . (n£IN)
<=> LHS=-[a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]÷[(a-b)(a-c)(b-c)]
Donc il suffit de MQ: [a^n(c-b)-b^n(a-c)+c^n(a-b)]=-m*[(a-b)(a-c)(b-c)] . (m£IN)

C'est à toi de trouver ce m.
Pour les autres, ils sont assez faciles et tous sont capable de le faire.
J'ai une modeste question: qu'est ce qu'on entends par LHS.

nmo a écrit:

J'ai une modeste question: qu'est ce qu'on entends par LHS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Sides_of_an_equation

Un autre exercice tiré de la partie olympiade du livre:
est une partie de et qui satisfait les trois condition suivante:
1-.
2-.
3-.
Démontrez que .
Bonne chance.
Je suis manifestement bloqué et je demande de l'aide.

nmo a écrit:

Un autre exercice tiré de la partie olympiade du livre:
est une partie de et qui satisfait les trois condition suivante:
1-.
2-.
3-.
Démontrez que .
Bonne chance.
Je suis manifestement bloqué et je demande de l'aide.

Voiçi ma solution pour votre plaisir:















Au plaisir.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Un autre exercice tiré de la partie olympiade du livre:
est une partie de et qui satisfait les trois condition suivante:
1-.
2-.
3-.
Démontrez que .
Bonne chance.
Je suis manifestement bloqué et je demande de l'aide.

Voiçi ma solution pour votre plaisir:







Au plaisir.

Bien joué.

D'après l'énoncé, on a IM est inclus dans IR, donc IM se compose de nombres et non pas de couple.
Pour lever l'ambiguité de l'exercice, il faut écrire dans la deuxième condition: (x,y) appartient à IM².
En tout cas la réponse de Marjani m'a laissé réfléchir à cela, et elle est juste sauf en ce cas.

m.marjani tu est très fort à ce que je vois, il n'y a pas d'exo ou de défis ou tu n'a pas posé les pieds.

En vois que sur ton profil l'âge que tu as est 16 ans et sincérement je ne connais pas beaucoup de personnes qui sont aussi fortes que toi en maths. La question qui se pose, est ce que c'est à force de travail et d'exercices de différent niveau ou d'un talent (toutefois je ne suis pas le genre de personnes qui croient au talent) ?

J'ai une petite faveur à te demander est ce que tu pourrais nous écrire un article qui soit plus en relation avec la patience et la persévérance la motivation et tout ça.

Encore merci

Mayback

p.s: M.Marjani tu as déja participé au IMO par hasard ?

salut,
les exos postés étaient faciles, de qu'elle force en maths parle-tu ?

@marjani merci pour le mp
@m_zeynep il n'y pas que ce qu'il y a sur cette page dans le forum

m_zeynep a écrit:

salut,les exos postés étaient faciles, de qu'elle force en maths parle-tu ?

Il vaut mieux ne pas sous estimer les exercices.
Sinon peux-tu me donner la solution du premier défi?