défi en algèbre

soit A un anneau tel que qlq soit x£A x^3=x , Montrez que A est commutative

on prend e=x² de A donc e²=e,donc pour tout a de A on a le carré de ea(e-1) est nul de meme pour (e-1)ae or dans A on a facilement si b est nilpotent alors il est nul,donc les deux quantités sont nulls,donc ea=eae=ae d'ou x²£Z(A) pour tout x de A,dons (x+1)²=x²+2x+1£Z(A),or Z(A) est un groupe alors 2x £ Z(A) et on a (x+1)^3=x+1 donc -3x²=3x£Z(A) d'ou 3x-2x=x£Z(A) =>Z(A)=A => A commutative

kalm a écrit:

on prend e=x² de A donc e²=e,donc pour tout a de A on a le carré de ea(e-1) est nul de meme pour (e-1)ae or dans A on a facilement si b est nilpotent alors il est nul,donc les deux quantités sont nulls,donc ea=eae=ae d'ou x²£Z(A) pour tout x de A,dons (x+1)²=x²+2x+1£Z(A),or Z(A) est un groupe alors 2x £ Z(A) et on a (x+1)^3=x+1 donc -3x²=3x£Z(A) d'ou 3x-2x=x£Z(A) =>Z(A)=A => A commutative

cet anneau n'est pas forcément unitaire

mais vous êtes sur que c'est vrai sans que A soit unitaire ?

oui et la solution que je connais est vraiement superbe

bon au début je voulais utiliser les quotients,mais on peut procéder simplement en tenant compte a votre niveau .
(x+x)^3=x+x =>6x=0 donc A=un anneau de bool +un anneau tel que x^3=x et de caractéristique 3 (3x=0).
un anneau de bool est commutatif (c'est facile a prouver).
pour l'anneau tel que x^3=x et 3x=0 (un tribool ) est commutatif,en effet:
on (x+y)^3=x+y et (x-y)^3=x-y
donc y²x+xy²+yxy=0 on multiplie a gauche puis a droite par y et on somme :xy=yx
ce qui acheve la demonstration .
-
plus généralement:soit A un anneau tel que pour tout x il existe n(x) tel que x^n(x)=x,A est commutatif.en effet:
soit I l'intersection de tout les ideaux maximaux de A,a vous de montrer que x£I <=>qlq soit a£A,1+ax inversible.
soit x£I on a x^n(x)=x =>x(1-x^(n(x)-1))=0,ceci c'est dans le plus petit anneau contenant A c'est l'anneau engendré par A,(plongement de A dans (A) ).et on a 1-x^(n(x)-)) inversible alors x=0.donc I={0} a vous de terminer.
on utilise toujours les plongements pour resoudre de differentes problemes en algebe,par exemple en reduction des endomorphisme,ou calcules matricielles :si R est un anneau commutatif alors pour tout A,B de M_n(R),com(AB)=com(A)com(B),pour la prouver il faut plonger R dans R(X) le corps des fractions rationnelles.

kalm a écrit:

bon au début je voulais utiliser les quotients,mais on peut procéder simplement en tenant compte a votre niveau .
(x+x)^3=x+x =>6x=0 donc A=un anneau de bool +un anneau tel que x^3=x et de caractéristique 3 (3x=0).
un anneau de bool est commutatif (c'est facile a prouver).
pour l'anneau tel que x^3=x et 3x=0 (un tribool ) est commutatif,en effet:
on (x+y)^3=x+y et (x-y)^3=x-y
donc y²x+xy²+yxy=0 on multiplie a gauche puis a droite par y et on somme :xy=yx
ce qui acheve la demonstration .
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plus généralement:soit A un anneau tel que pour tout x il existe n(x) tel que x^n(x)=x,A est commutatif.en effet:
soit I l'intersection de tout les ideaux maximaux de A,a vous de montrer que x£I <=>qlq soit a£A,1+ax inversible.
soit x£I on a x^n(x)=x =>x(1-x^(n(x)-1))=0,ceci c'est dans le plus petit anneau contenant A c'est l'anneau engendré par A,(plongement de A dans (A) ).et on a 1-x^(n(x)-)) inversible alors x=0.donc I={0} a vous de terminer.
on utilise toujours les plongements pour resoudre de differentes problemes en algebe,par exemple en reduction des endomorphisme,ou calcules matricielles :si R est un anneau commutatif alors pour tout A,B de M_n(R),com(AB)=com(A)com(B),pour la prouver il faut plonger R dans R(X) le corps des fractions rationnelles.

si par les quotients vous voulez dire : corps des fractions , alors priere de poster une solution ,
x£I <=>qlq soit a£A,1+ax inversible. cela vient du fait que si U est ideal maximal alors A/U est un corps ( sauf erreur)
pouvez vous expliquer ce qui est en gras ?? , en plus cette generalisation eest un théoreme connu , mais le probleme est que A n'est pas necessairement unitaire

pour les quotients ce n'est pas ca ,pour l'equivalence il faut encore raffiner .
-on plonge un anneau non unitaire dans le plus petit anneau unitaire qui le contient,mais si le théorème est assez connu pour toi,alors il faut comprendre ce qui est en gras!!

c'est un théoreme de Jacobson , et je connais pas une preuve !!

kalm a écrit:

on plonge ...

... je tacherai de ne pas participer dans ce topic ..

bah ton mieux !!c pas mon problème si vous comprenez pas ces choses la,mais ce qui "gène" c'est le mot "connaitre" que vous utilisez bcp!!ca sera mieux pour vous de faire la gueule que de sécher juste pour comprendre des notions que vous connaissez pas.

plus de detal sur le sujet voici un lien

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SD/SD_1965-1966__19_2/SD_1965-1966__19_2_A2_0/SD_1965-1966__19_2_A2_0.pdf