De l'aide SVP

Salut, j'espère avoir de l'aide concernant la 3ème question du 7ème exo.
http://maths09.ifrance.com/lycee/jan10/1/1sm-d1-s1-karoum.pdf
Et merci d'avance.

salam

posons x= p/q , p et q premiers entre eux

===> y = (2p² + 5pq + 9q²) / (2pq +q²)

y E Z signifie : 2pq + 3q² divise 2p² + 5pq + 9q²

d'où q divise 2p² + 5pq + 9q²

===> q divise 2p²

====> q E { 1 , 2 }
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1er cas : q= 1

====> 2p+3 divise 2p² + 5p + 9 = (2p+3)(p+1) + 6

====> 2p+3 divise 6 ===>p=0

donc x= 0 ====> y = 3
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2e cas: q=2

====> 4p+12 divise 2p² + 10p + 18

====> 2p+6 divise p² +5p +9

====> 2 divise p²+5p+9

====> 2 divise p² + p + 1= p(p+1) +1 qui est impair car p(p+1) pair

donc impossible.
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conclusion:

H inter Z = {3}

Ma solution:

H (Inter) IZ <=> l'existance de y£H ET y£IZ . Alors il suffit de résoudre l'équation pour y£IZ et x£IQ+.
On a y=(2x²+5x+9)/(2x+3) <=> 2x²+x(5-2y)+9-3y=0 ==> Delta=(5-2y)²-8(9-3y)=4y²+4y-47 Et d'aprés la premiére donnée: 4y²+4y-47=(2k+1)² d'ou: x=(2y-5+2k+1)/4=(y-2+k)/2 ou x=(2y-5-2k-1)/4=(y-3-k)/2

De 2x=y+k-2 ou 2x=y-k-3 On déduit que: (2x) £ IZ Avec x£ IQ+ Alors il existe k' appartenant à IZ tels que 2x=k' (1). Et il existe (p,q)£IZ.IN* tels que PGCD(p,q)=1 , avec x=p/q. De (1) on déduit que q=2 Et p=k' impair (Sinon x n'apartient pas à IQ+).

Mais p=k' doit étre impair , or x=k'/2 <=> 2x=k' Avec ((2x),k')£IZ² ==> k' pair ==> Contradiction.
D'ou: k'=p=0 ==> x=0 ==> y=3 . On déduit que H(Inter)IZ = {(0,3)}

CQFD.

Merci pour votre aide houssa et M.Marjani,même si vos solutions diffèrent.

salam

juste une précision

H inter Z ={ ensemble des y } = {3} et non {(0,3)}

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houssa a écrit:

salam

juste une précision

H inter Z ={ ensemble des y } = {3} et non {(0,3)}

...................................

C'est presque la méme chose, car x est devenu inclus dans IZ non IQ+. H inter Z = {(0,3)} est plus précis que {3}